Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Лекции по топологии для физиков
Автор: Шапиро И.С.Другие авторы: Ольшанецкий М.А.
Издательство: Москва
Год издания: 2001
Страницы: 126
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
Скачать:
И.С.Шапиро, М.А.Ольшанецкий ЛЕКЦИИ ПО ТОПОЛОГИИ ДЛЯ ФИЗИКОВ Предлагаемый текст представляет собой обработанный курс лекций, прочитанных И. С. Шапиро группе физиков ИТЭФ в 1977-78 гг. Публикуемая часть курса является введением в теорию гомологии.
Лекции рассчитаны на физиков-теоретиков, аспирантов и студентов физико-математических специальностей.
Оглавление
Предисловие 4
1. Введение 5
1.1. Зачем нужна топология физику? 5
1.2. Многообразия (аналитическое представление) 11
1.3. Многообразия (более общая формулировка) 13
1.4. Учебная литература 21
2. Теория гомологии 22
2.1. Клеточный комплекс 22
2.2. Группы циклов и группы гомологии (группы Бетти) 32
2.3. Числа Бетти и характеристики кручений 43
2.4. Гомологии и числа Бетти по модулю 48
2.5. Многообразия с «краем». Относительные гомологии 51
2.6. Последовательности Манера-Вьеториса и «теоремы сложения» для 60
чисел Бетти
2.7. Когомологии 91
3. Теория Морса и ассоциированные вопросы 98
3.1. Критические точки 98
3.2. Топология области меньших значений 101
3.3. Неравенства Морса 105
3.4. Теорема Пуанкаре-Хопфав индексах векторного поля 107
3.5. Оценка числа полюсов аналитической функции ИЗ
3.6. Риманова поверхность алгебраической функции (формула Римана- 115
Гурвица)
3.7. Размерность пространства мероморфных функций (формула Римана- 118
Роха)
3.8. Топологические аспекты многоканальной задачи 122
Предисловие
Предлагаемый текст представляет собой обработанный курс лекций, прочитанных И. С. Шапиро группе физиков ИТЭФ в 1977-78 гг. Некоторые разделы были практически заново написаны для этого издания М. А. Олыианецким, другие им же подвергнуты необходимой редакции; однако в целом характер изложения, план курса, отбор основного материала и примеров остались без изменений. Содержание курса в достаточной мере изложено во Введении и в дополнительном комментарии вряд ли нуждается. Отметим лишь два обстоятельства. Во-первых, в окончательном варианте лекций опущен раздел, относящийся к использованию теории гомологий применительно к изучению рима-новых поверхностей фейнмановских диаграмм: по этому вопросу имеется опубликованная обзорная литература, доступная читателю, который интересуется этими проблемами. Во-вторых, подчеркнем еще раз, что лекции рассчитаны на физиков-теоретиков и прочитаны физиком. Никакого, даже отдаленного подобия математической строгости в них искать не следует. В задачу лектора входило разъяснение органической природы («физического смысла») основных понятий и ознакомление физиков с базисом нового для них математического аппарата. Публикуемая часть курса является введением в теорию гомологий.
Выражаем благодарность М. И. Монастырскому, просмотревшему рукопись и сделавшему полезные замечания.
Нелегкий труд по подготовке лекций к печати взяла на себя одна из слушательниц — Н. Я. Смородинская, которой мы чрезвычайно признательны.
Глава I Введение
1. Зачем нужна топология физику? 2. Многообразия (аналитическое определение). 3. Многообразия (более офщее определение). 4. Учебная литература.
1.1. Зачем нужна топология физику?
Краткий прагматический ответ состоит в следующем: для получения свойств решений физических уравнений без решения самих этих уравнений, т. е. примерно затем же, зачем нужна теория представления групп. Перечислим некоторые возможные приложения топологических методов к решению задач, встречающихся в теоретической физике.
1- Оценка снизу критических точек функции /(Xi,... , X11) в зависимости от многообразия, на котором задана функция. Критической мы называем точку df(x)/dxi = 0(* = 1, ... , п). Она называется невырожденной, если det(д2/dxidxj) ф 0. Тогда приращение функции Af можно записать так:
где yi = sijxj\ {«ij} — матрица, диагонализирующая д2 f /dxidxj. Число отрицательных квадратов к в формуле (1.1.1) определяет тип критической точки; к = 0 — минимум, к = п — максимум, в остальных случаях — седло. Обозначим через т* число критических точек типа к. Минимальные возможные значения этих чисел оказываются зависящими от топологических свойств многообразия, на котором задана дважды дифференцируемая функция /, а именно от структуры групп гомологий этого многообразия — от их чисел Бетти. Из теоремы Вей-ерштрасса о достижении непрерывной функцией на компактном многообразии своих нижней и верхней границ следует, что mo ^ 1 и га„ ^ 1.
к
п
j=*+l
(1.1.1)
&
Глава I
Теория гомологий делает возможными более содержательные оценки. Например, общее число невырожденных критических точек на двумерном торе должно быть не менее четырех (mo ^ I, mi ^ 2, m2 ^ 1); на проективной плоскости, т. е. на поверхности, топологически эквивалентной проективной плоскости, должно быть не менее трех, а в ті-мерном проективном пространстве — не менее пф\. Такие же оценки можно дать для всех замкнутых многообразий, в частности двумерных, и, следовательно, для функций на конечно-листных римановых поверхностях. К этой же категории приложений относится оценка числа экстремальных значений функционалов в зависимости от топологических свойств пространства функций, на котором этот функционал задан.