Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
IriM1 U M2) = Z7-(Mi) + IriM2 \ M1 П M2), (2.6.19)
так как каждое из слагаемых содержит разные клетки, и клеточный базис всей цепи в правой части равенства (2.6.19) включает в себя все клетки разбиения M1 U M2. Вместе с тем
Zr(Mi) Є Lr(Mi), -KiM2 \ (Мі П M2)) Є Lr(M2)
70
Глава Z
и потому произвольная цепь (2.6.19) является, согласно соответствию (2.6.18), образом элемента:
[Ir(M1), -lr(M2 \ (M1 П M2))) є Lr(M1) © Lr(M2).
Этим завершается доказательство точности последовательности (2.6.16).
Перейдем к основной цели этого параграфа. Мы сейчас покажем, что точной последовательности групп цепей (2.6.16) соответствует точная последовательность групп гомологий, так называемая последовательность Майера-Вьеториса:
яг+1(М! n м2) A HrW1 n M2) А A Hr(M1) © Hr(M2) -A H,(M1 U M2) -А НГ-1(М1 П M2),
где г* и г* — гомоморфизмы включения групп гомологий, a At — некоторый оператор, который мы построим с помощью граничного гомоморфизма Д* (2.6.12). Таким образом, наша задача заключается в построении оператора Д» и доказательстве точности последовательности. Обратим внимание на отличие точной последовательности групп цепей (2.6.16) Lr и соответствующей'ей последовательности групп гомологий Hr.
Рассмотрим теперь соответствующие группы гомологий. Прежде всего заметим, что группа гомологий JV7.(1 © 2) группы цепей Lr(M1) ©Lr(M2) есть прямая сумма групп Hr(M1) и Hr(M2):
Hr(IG) 2) Si Hr(M1) © Hr(M2). (2.6.20)
Элементами группы являются смежные классы:
Лг(1 0 2) = (cr(l), сг(2)} + (Br(l), Br(2)}. (2.6.21)
Здесь сг(1), ег(2) — циклы из Lr(M1), Lr(M2), a Br(I), Вг(2) — подгруппы гомологичных нулю циклов. Парам {Cr(I) + Ьг(1), сг(2) + Ьг(2)}, где Ьг(1) Є Br(I), Ьг(2) Є Вг(2) отвечает один и тот же смежный класс. Гомоморфизмы і (2.6.18) порождают гомоморфизмы г» групп гомологий
Hr(M1) © Hr(M2) А Нт(Мг U M2)
(2.6.22)
Теория гомологий
71
по закону:
Imг* = (Cr(I) - сг(2) + Д. (Mi U M2)). Отметим, что в отличие от равенства (2.6.19)
Ітг» ф Hr(Mi U M2),
(2.6.23)
(2.6.24)
так как в M1 U M2 имеются, вообще говоря, циклы, не являющиеся циклами ни в Lr(Mi), ни в Lr(M2) (рис. 31). Поэтому цепи Cr(I) — сг (2) не исчерпывают всей совокупности негомологичных нулю циклов в Mi U M2.
Mr
Рис. 31. Пунктирный цикл на торе. Рис. 32. Нульмерный цикл
Mi U Мг не является циклом ни в Mi ни Ci—сг из Mi П Мг, негомо-
в Мг в отдельности. логичный нулю в Mi П Мг,
но гомологичный нулю в Ml и Мг. Штриховкой показано пересечение Mi D Мг; пунктир — цепи из Mi И М-2, границей которых является
данный цикл.
Установим состав Ker г*. Из выражения (2.6.23) следует, что Ker г» содержит смежные классы (2.6.21), для которых
сг(1) - сг(2) = br е ^r(Mi U M2).
(2.6.25)
72
Глава 2
Мы покажем, что Ker г* есть подгруппа группы (2.6.21), порождаемая циклами
cr(l) = cr (2) = Cr^M1 D M2). (2.6.26)
Представим Cr(I) и сг(2) как цепи на M1 и M2 в виде:
cr(l) = cr(T) + CriM1 П M2), сг(2) = Cr(S) + o'(Мі П M2), (2.6.27)
где I, 2 = Mij2 \ (Мі П M2). Вообще говоря, слагаемые правой части выражения (2.6.27) не обязательно циклы. Поскольку, однако, разность сг(1) — сг(2) гомологична нулю в BriM1 U M2), т. е. является границей некоторой цепи на M1 U M2, мы можем написать:
Cr(I) сг(2)^ Ьг A/r+i; . .
Ir+1 = Wi(I) + Ir+i(2) + Zr+i(Mi ПM2).
Используя дистрибутивность оператора Д (граница суммы равна сумме границ), имеем
Ьг = Д/г+і(Т) + Д/г+і(2) + Дгг+і(Мі П M2). (2.6.29)
Все три слагаемых в выражении (2.6.29) — циклы (граница границы равна нулю). Граница AZr+i(l) может лежать либо в 1, либо в M1 П M2, граница AZ7.+1 (2) — либо в 2, либо в пересечении M1 П M2, граница Д/г+і(А/і Г)М2) — в пересечении. В любом случае Ьг однозначно представимо в виде:
Ьг = Ъг(T) + К(2) + Ъг(Мі П M2); (2.6.30)
здесь уже Ьг(1), Iir(2), — циклы, лежашие соответственно в 1 и в 2 и гомологичные нулю в этих многообразиях; br(MiflM2) — цикл из пересечения, ГОМОЛОГИЧНЫЙ нулю В самом пересечении, либо В Mi или M2. Напомним в связи с этим еще раз, что цикл из пересечения M1 П M2, ГОМОЛОГИЧНЫЙ нулю В Ml П M2, может не быть ГОМОЛОГИЧНЫМ нулю в Mi П M2. Например, два мередиана Z1, Z2 тора на рис. 31 составляют пересечение M1 П M2, но составленный из них цикл Z1 + Z2 не гомологичен нулю в этом пересечении, так как последнее вообще не содержит двумерных цепей и, следовательно, не может содержать и
Теория гомологий 73
их границ. Вместе с тем указанный цикл на торе гомологичен нулю в Mi и в M2. Другой пример цикла, лежащего в пересечении, но гомологичного нулю в Mi, M2 и негомологичного нулю в M1 П M2, показан на рис. 32. Вернемся, однако к нашей задаче — доказательству равенства (2.6.26). Поставив выражение (2.6.27) и (2.6.30) в первое из равенств (2.6.28), получим
сг(1) - сг(2) + [Cr(MiHM2) - с'ДМі П M2)] = = Ьг(1) — Ьг(2) + Ьг(Мі П M2).
(2.6.31)
Отсюда следует
сг(Т) = ЬГ(Т), сг (2) = М2); (2.6.32)
сг(Мі П M2) - dr(M\ П M2) = Ьг(Мі П M2). (2.6.33)
Таким образом
cr(l) = Ml) + сг(Мі П M2);