Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Из выражений (2.5.32) и (2.5.36) находим
H1(Ml) й Z/2(2) й Z2 (2.5.37)
Наконец, из выражения (2.5.34) следует
H2(Ml) “ 0 (2.5.38)
Таким образом, для относительных чисел Бетти листа Мёбиуса имеем
Pr(Mf)=O, г = 0,1,2; (2.5.39)
ДЛЯ относительных коэффициентов кручения Tfir(Ml) получаем
Jn0(Ml) = т2(М1) = 0; Tn1(Mf) = 2. (2.5.40)
Легко вычислить также pr (mod 2). В этом случае мы получили бы из выражения (2.5.33), что
Поэтому
Al2 (М, N) / mod 2 = 0.
B1 (mod 2) = B2 (mod 2) = 0 H1 (mod 2) = H2 (mod 2) = Z2
(2.5.41)
P0 (mod 2) = 0, P1 (mod 2) =p2 (mod 2) = I. (2.5.42)
Сравнивая три рассмотренных примера негомеоморфных двумерных многообразий с краем, мы видим, что все группы относительных
Теория гомологий
59
гомологий для них различны и при этом все эти группы гомологий и соответствующие им числа Бетти отличаются от групп гомологий и чисел Бетти для замкнутых двумерных многообразий. Таким образом, относительные гомологии действительно характеризуют топологические свойства многообразий; числа Бетти гомеоморфных многообразий совпадают.
Любопытно посмотреть, что мы получили бы, если бы использовали для описания многообразий с краем не относительные гомологии, а обычные. Нетрудно подсчитать, что обычные группы гомологий и числа Бетти для кольца равны.
H0(R21) S H1(R21) S Z, H2(R2) = О,
P0(R21) = P1(Rl) = I, P2(R21) = 0.
Совершенно то же самое справедливо и для чисел Бетти листа Мёбиуса. Иными словами, мы получили бы
Pr(R21) =Pr(M21)
для заведомо не гомеоморфных двумерных многообразий с краем.
Для ориентируемых многообразий с краем относительные числа Бетти имеют почти тот же геометрический смысл, что и обычные числа Бетти для замкнутых ориентируемых многообразий: они дают минимально возможные числа r-мерных клеток для данного многообразия за вычетом лежащих в границе. Поэтому для ориентируемых многообразий с краем так же, как и для замкнутых, pr = pr (mod 2). Для не-ориентируемых многообразий с краем так же, как и для замкнутых не-ориентируемых многообразий, указанный геометрический смысл имеют только Pr (mod 2). Поэтому для неориентируемых многообразий с краем pr = Pr (mod 2).12
123аметим, что рТ (mod 2) дают минимальное клеточное разбиение вообще возможное для многообразий, гомеоморфных данному. Это минимальное разбиение для конкретной реализации может оказаться непосредственно неосуществимым: для его выполнения могут потребоваться предварительные гомеоморфные преобразования. Напрнмер, реализация листа Мёбнуса M1 в виде, показанном на рис. 66 и воспроизводящем его рис. 21, не позволяет получить непосредственно минимального клеточного разбиения, отвечающего числам рГ (mod 2) согласно равенствам (2.5.42). Такое разбиение дается реализацией M1, произведенной на рис. 6а.
60
Глава 2
В заключение данного раздела мы приводим рг и рт (mod 2) для круга с n-дырками R^1 и круга с n-дырками, заклеенными листами Мёбиуса M2 (табл. 4 и 5).
Таблица 4
Относительные числа Бетти и коэффициенты кручения для двумерных многообразий с краем
Многообразие Числа Бетти Коэ( )фициенты кручения
Po Pi P2 Шо nil Tn2
К 0 п 1 0 0 0
M2" 0 Tl — 1 0 0 2 0
Таблица 5
Относительные числа Бетти по (mod 2) для двумерных многообразий с краем
Многообразие Числа Бетти (mod 2)
Po Pi P2
К 0 Tl 1
Ml 0 Tl 1
Как и следовало ожидать, pr (mod 2) совпадают для ориентируемых и неориентируемых многообразий.
2.6. Последовательности Майера—Вьеториса и «теоремы сложения» для чисел Бетти
Основой метода получения теорем сложения является использование так называемых точных последовательностей гомоморфных отображений нескольких абелевых групп.
Последовательность гомоморфизмов
A1^ A2^ A3 (2.6.1)
называется точной, если
Im Zi2 = Ker/23.
(2.6.2)
Теория гомологий
61
Здесь Imfij — множество элементов Aj, являющихся образами элементов Ai при гомоморфизме fij'i Kerfij — множество элементов Лі ,отображаемых в ноль группы Aj при гомоморфизме fy. Рис. 22 поясняет эти определения
Im /у
At
Рис. 22. Иллюстрация Imfij (о.) и Ker fy (б).
Графическая иллюстрация точной последовательности (2.6.1) приведена на рис. 23. Для дальнейшего важна основная теорема о гомоморфизме, которая состоит в следующем:
Ai/Kerfij = Imfij
Ai^Aj.
(2.6.3)
Рис. 23. Точная последовательность Ai —> A2 —> Лз-
Иначе говоря, если Aj гомоморфна Лі, то элементы Лі, отображаемые в нуль группы Aj, образуют подгруппу и фактор-группа по этой подгруппе изоморфна образу в Aj. Графически это иллюстрируется рис. 24.
С помощью выражения (2.6.3) и цепочки точных последовательностей (2.6.1) можно сделать заключения о структуре одной из групп, входящих в последовательность, если известна структура другой. При-
62
Глава Z
Ker
Лз
Im Лз
А
Д
AZKerf11
А
А,
Рис. 24. Иллюстрация основной теоремы о гомоморфизме.
Рис. 25. Точная последовательность
менительно к точным последовательностям гомологических групп это означает, что ранг и коэффициенты кручения одной гомологической группы могут быть вычислены по соответствующим характеристикам другой группы гомологий, входящей в ту же точную последовательность.
