Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим некоторые точные последовательности, полезные при вычислении групп гомологий.
1. Последовательность 0 -? A2 A3
В этом случае
т. е. A2 отображается изоморфно в некоторую подгруппу Аз (рис. 25). В самом деле, согласно выражению (2.6.2) Ker /гз=0, т. к. Im/i2=0. Далее
Наконец, используя теорему (2.6.3), получаем изоморфизм (2.6.4).
т. е. образом Ai является вся группа A2 (рис. 26)
Равенство (2.6.5) очевидно, так как Ker/23 = A2, а в силу теоремы (2.6.3) Im /12 = Ker/23 = A2. Заметим, что первый гомоморфизм
A2 = Im /гз,
(2.6.4)
A2/Ker/гз — Аг/{0} — A2.
2. Последовательность
Для этой последовательности
Im Д2 = A2,
(2.6.5)
Теория гомологий
63
/и
О
А
А,
Рис. 26. Последовательность A1 —>¦ Ai —> 0.
Рис. 27. ность 0-
Последователь-—>Аз—И).
О
Рис. 28. Последовательность 0 —> Ai
Аз
A4
0.
в последовательности п. 1 и последний в последовательности п. 2 тривиальны. Поэтому утверждение о точности этих последовательностей равнозначно просто постулированию (2.6.4) для гомоморфизма /23 в случае п. 1 и равенства (2.6.5) для гомоморфизма Д2 в случае п. 2.
3. Последовательность 0 A2 -? A3 -? 0.
Предполагается, что (f12, /23) и (/23, /34) есть точные последовательности. Тогда
A2 = Аз
(2.6.6)
Действительно, последовательность (/23, /34), согласно равенству (2.6.5) дает
Imf23 = A3,
а из последовательности (f12, f23), согласно изоморфизму (2.6.4), имеем
A2 = Imf23 = A3, т. е. соотношение (2.6.6). Эта последовательность показана на рис. 27.
64
Глава 2
4. Последовательность 0 A2 -? Аз -? A4 -? 0.
Для этой последовательности (рис. 28)
Аз/A2 = A4.
(2.6.7)
Данное соотношение устанавливается следующим образом. Из последовательности (/з4, /45) и теоремы (2.6.3) следует, что
Далее, согласно равенству (2.6.2), из последовательности (/2з, /34) получаем
Из этих двух равенств следует изоморфизм (2.6.7). Последовательность (/12, /23)) не использованная до сих пор, нужна по той причине, что согласно изоморфизму (2.6.4)
Поэтому, если известны A2 и Аз, то равенство (2.6.7) дает A4.
5. Полезен еще следующий пример.
Рассмотрим цепной комплекс:
Если бы эта последовательность была точна, т. е. Im Д = Ker Д, то, согласно определению, группы гомологий Hp такого комплекса были бы тривиальны. Такой комплекс называют цикличным. Таким образом, группы гомологий Hp = КегД/1тД характеризуют отклонение последовательности (2.6.8) от точной.
Точные последовательности групп гомологий порождаются гомоморфизмами групп цепей. Существенны три типа гомоморфизмов.
Вложение Пусть NkM — два многообразия. Если N с M то существует тождественное отображение i: N -+ М, которое переводит каждую точку из N в ту же точку, но рассматриваемую как точку в М. При этом, естественно, каждая цепь Ir(N) переходит тождественным образом в цепь Ir(M). Отображение Lr(N) в Lr(M) тождественное с
A3/Keif34 = Imf34 = A4.
Imf23 = Ker/34.
Im/23 — A2.
(2.6.8)
Теория гомологий 65
нулевым ядром. Оно соответствует точной последовательности (2.6.4). Однако порождаемый вложением і гомоморфизм группы гомологий
Hr(N) A Hr(M)
может иметь ненулевое ядро. Гомоморфизм г» строится следующим образом: берется цикл Cr(Ar) из некоторого класса (cr(N)+Br(N))?Hr(N) и рассматривается как представитель класса (cr(N)+Br(M)) Є Hr(M). Приведем пример нетривиального ядра Kerг*.
Пример. N — граница круга R = M (рис. 29); N — цикл в N и в М, негомологичный нулю в N и гомологичный нулю в М.
Иначе говоря, N / 0 и г* (JV + Bi(N)) = Bi(M) ~0e Hi(M) Проекция (р»). Группа цепей Lr(M) гомоморфна своей факторгруппе Lr(M, N) = Lr(M)/Lr(N). Этот гомоморфизм
L2(M) A L2(M, N) (2.6.9)
индуцирует гомоморфизм Pt групп гомологий
H2(M) А Н2(М, N). (2.6.10)
Граничный гомоморфизм Д». Если соспоставить цепи ее границу или часть границы, то мы получим гомоморфные отображения Lr на Lr-1. В частности, если N С М, то цепи на M можно сопоставить
часть ее границы, лежащей в N. Гомоморфизм этого типа, называемый
граничным, определяется соответствием:
Ir(M) Ад Ir(N) Є Lr-i(N), (2.6.11)
N
где символ Д Ir означает часть границы, содержащейся в Lr^i(N), т. е. являющейся цепью на N. Циклу Cr(M) при гомоморфизме Д отвечает нуль группы Lr-i(N).
Покажем, что граничный гомоморфизм Д порождает гомоморфизм групп гомологий Д»:
66
Глава 2
Рис. ЗО. Клеточное разбиение Mi UM2. Клетки 6, 7,8 составляют клеточное разбиение Mi П M2. Клетки 1-5 — разбиение Mi \ (Mj П M2). Клетки 10-14 — разбиение M2 \ (Mi \ М2). Любая цепь на Mi U M2 есть линейная комбинация четырнадцати показанных на рисунке клеток.
Рис. 29. M — круг с границей N.
Цикл N не-гомологи чный нулю ъ N Vi гомологичный в М. Иначе говоря, N <? 0,
MN) = N и i.(N+B1(N)) =
Bi(M) ~ 0 в Яі(М).
Определим Im Д». Элементами НТ(М, N) являются смежные классы группы СТ(М, N) относительных циклов с,, по подгруппе ВТ(М, N) относительных циклов Ъг, гомологичных нулю, т. е. являющихся относительными границами относительных цепей. Подгруппа ВТ(М, N) состоит из относительных циклов Ъг, имеющих вид:
