Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если порядок / циклической группы Z/ разлагается на простые множители
/ = Qi ¦ Os. ¦ • ¦ ¦ Qu
то, очевидно,
jQV
(2.3.4)
Из выражений (2.3.2) и (2.3.4) следует, что периодическая абелева группа может быть разложена в прямую сумму циклических подгрупп, порядки которых являются простыми числами. Поэтому Gmr может быть охарактеризована указанием порядков
, QiT\ ™г = Д q(p (2.3.5)
і=I
своих примерных составляющих (заметим, что среди чисел q^ могут быть одинаковые)8. Числа (2.3.5) называют иногда конечными инвариантами Hr или числами примерных кручений. Изложенным выше исчерпываются все «квантовые числа» гомологических групп. В табл. 1 приведены числа Бетти.
7Отметим следующее свойство /J-: это число является наименьшей из «коорди-нат» элементов Gmr в разложении Gmr по образующей.
^Циклическая группа, порядок которой есть степень простого числа, называется примерной.
Теория гомологий
45
Таблица 1.
Числа Бетти и коэффициенты кручения замкнутых _____________двумерных поверхностей______________
Многообразие Числа Бетти Коэффициенты кручений
Po Pi Pr г = 0 г = 1 г = 2
S2 1 0 1 0 0 0
Pu 1 2 п 1 0 0 0
Nn 1 Tl — 1 0 0 2 0
и коэффициенты кручения. Как видно из таблицы, для ориентируемых многообразий справедливо соотношение
Pn-Г = Pr, (2.3.6)
называемое «теоремой двойственности Пуанкаре». Эта теорема справедлива и для ориентируемых многообразий высших размерностей больше 2.9 Для двумерных ориентируемых многообразий в силу теоремы о двойственности нетривиальным оказывается только одномерное ЧИСЛО Бетти Pi, имеющее, очевидно, простой геометрический смысл: оно равно максимальному числу неограниченных циклов. Положение меняется, когда мы переходим к неориентируемым поверхностям. Например, для проективной плоскости цикл, начинающийся и кончающийся в бесконечно-удаленной точке, не ограничивает, тем не менее Pi(JVi) = 0. Теорема двойственности может быть обобщена на не-ориентируемые многообразия, если рассматривать гомологии по модулю 2 или вообще по модулю отличного от 1 числа. Этому вопросу посвящен раздел 2.4.
Укажем связь эйлеровой характеристики х с числами Бетти. Имеет место следующее соотношение, справедливое для многообразий любой размерности п:
9B оригинале Analysis situs Пуанкаре формулировал теорему двойственности так: «числа Бетти, равноотстоящие от концов, равны».
46
Глава 2
X = ?(-1)?-- (2-3.7)
Г=1
Это соотношение также было впервые получено Пуанкаре в Analysis situs.
Для ориентируемых многообразий размерности п, если п четно, HO п/2 нечетно, «срединное» ЧИСЛО Бетти рп/2 четно. Проявлением этого правила в случае п = 2 есть равенство Pi(Pn) = 2п.
Остановимся теперь вкратце на вычислениях чисел Бетти многообразий более высокой размерности (n+1). В ряде случаев удобный прямой путь состоит в погружении замкнутого n-мерного многообразия в евклидово пространство большей размерности (п + 1). Далее, выбрав удобную форму многообразия,например, в виде многогранника — тетраэдра, куба и т. п., следует задать координаты вершин и с их помощью перечислить ребра, грани и другие клетки всех размерностей. Следующий этап состоит в идентификации элементов многогранника, превращающей его в исследуемое многообразие. В зависимости от относительной ориентации идентифицируемых клеток (вершин, ребер, граней и т. д.) мы получим ориентируемое или неориентируемое многообразие. Если после идентификации не остается «свободных» вершин, граней и др. клеток с размерностью, меньшей п, то образованное многообразие будет n-мерной замкнутой поверхностью. Указанное построение содержит в себе и определение клеточного разбиения, позволяющее выписать цепи и применить стандартную процедуру вычисления групп гомологий и соответствующих чисел Бетти. Поскольку при отсутствии наглядной картины возможны ошибки в идентификации элементов вспомогательного многогранника, надо следить за тем, чтобы возникшие после идентификации клетки, проходящие через одну вершину, образовывали «звезду», т. е. захватывали полный телесный угол (п—1)-мерной сферы с центром в данной вершине. Следить же за этим можно с помощью следующего приема. Если представить себе (п— 1)-мерную сферу с центром в данной вершине, то ребра, грани и др. клетки звезды, продолженные до пересечения с поверхностью сферы, определяют клеточное разбиение этой сферы. Число образовавших клеток должно, согласно формуле (2.2.5), давать эйлерову характеристику х(^п~г), равную Os
Теория гомологий
47
если п — 1 нечетно, и 2, если п— 1 четно. Сказанное поясняется рис. 18.
Очевидно, что число Kr r-мерных граней сферы будет равно числу Kr+i (г + 1)-мерных граней звезды. Вычисление чисел Бетти чаще удобно производить косвенными методами. Эти методы основываются на связи других характеристик многообразий, вообще говоря, зависящих от конкретной реализации многообразия с искомыми числами Бетти. В качестве примера приведем соотношение между гауссовой кривизной замкнутой двумерной поверхности и ее эйлеровой характеристикой10. Справедлива следующая формула Гаусса-Бонне (1848 г.)
