Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Шапиро И.С. -> "Лекции по топологии для физиков" -> 15

Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.

Шапиро И.С., Ольшанецкий М.А. Лекции по топологии для физиков — Москва, 2001. — 126 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipotopologii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 37 >> Следующая


K(Z)At = X- (2.3.8)

Здесь К(х) — гауссова кривизна в точке xda — элемент поверхности, а интегрирование ведется по всей поверхности. Эта формула может быть использована для вычисления эйлеровых характеристик многообразий, заданных аналитически уравнениями типа (1.2.1) или (1.2.4). Другие косвенные методы нахождения чисел Бетти состоят в использовании теории сложения (см. ниже 2.5,2.6) и теории расслоений (расслоенных пространств). Теоремы сложения сводят вычисление групп гомологий для некоторого многообразия к вычислению аналогичных групп для более простых частей этого многообразия той же или меньшей размерности. Расслоения, будучи объектами, которые можно назвать обобщенными прямыми произведениями многообразий, дают возможность понижать размерность, т. е. выражать группы гомологий многообразий высших размерностей.

10Напомним, что гауссова кривизна K(S) определяется как предел отношения ори-ентированных площадей соответственных бесконечно малых участков поверхности единичной сферы нормалей и рассматриваемой поверхности.

Рис. 18. Звезда и определяемое ею клеточное разбиение сферы с центром в вершине.
48

Глава 2

2.4. Гомологии и числа Бетти по модулю

Вместо группы циклов Cr можно рассматривать ее фактор-группу по подгруппе целых чисел, делящихся на некоторое число т . Точнее, так как Cr — свободная группа с некоторым (конечным) числом образующих

CrSZ®...©Z, (2.4.1)

то Cr имеет подгруппу

СТ(т) = Z(m) ® ... © Z{m), (2.4.2)

где Z(m) — аддитивная группа целых чисел, делящихся на тп, являющаяся подгруппой группы Z. Мы рассматриваем фактор-группу

Cr (mod тп) = Сг/Сг(тп). (2.4.3)

Легко видеть, что ZfZ(Tn) изоморфна конечной из элементов

О, I, 2, ... , д, ... , тп — 1, в которой групповая операция сложения опре-

делена по mod тп. Именно, по определению

д + д’ = R(g + g'), (2.4.4)

где R(g + (/) — остаток от деления числа д + д' на тп. Ясно, что эта группа является циклической группой ш-го порядка и, таким образом,

Z /Z(m) = Ztn. (2.4.5)

Отсюда следует, что

Cr (mod тп) = Zm ®... ® Zm, (2.4.6)

причем число слагаемых в выражении (2.4.6) равно числу слагаемых в выражении (2.4.1). Согласно изложенному, Cr (mod тп) получается из Cr, если заменить в Cr обычное арифметическое сложение коэффициентов в абстрактной сумме сложением по mod тп. При этом из подгруппы Br циклов, гомологичных нулю, мы получим группу Br (mod тп), которая, очевидно, будет подгруппой
Теория гомологий

49

группы Cr (mod тп). Взяв теперь соответствующую фактор-группу Cr (mod m)/Br (mod тп), мы получим группу гомологий Hr (mod тп) по модулю тп:

Hr (mod ш) = Cr (mod тп)/Вг (mod га). (2-4.7)

Поскольку Hr (mod тп) есть конечная группа, то ее разложение в прямую сумму циклических подгрупп может содержать только циклические слагаемые конечного порядка, причем наивысшим возможным порядком является число тп. В этом смысле особенно проста структура групп гомологий по модулю 2.

Ясно, что

Hr (mod 2) a Z2 ф ... ф Z2j • (2.4.8)

Pr (mod 2)

Число слагаемых pr (mod 2) в прямой сумме (2.4.8) называется r-мерным числом Бетти по модулю 2. При произвольном модуле т r-мерным числом Бетти по модулю т называется число образующих Zm в разложении Hr (mod т).

Очевидно, что группы гомологий по модулю Hr (mod га) в меньшей степени характеризуют многоообразие, чем группы Hr. В самом деле, переход к гомологиям по модулю получается в результате замены группы циклов Cr ее фактор-группой Cr/СТ(т). Последняя же лишь гомоморфна группе Cr, а не изоморфна ей, а потому отражает лишь некоторые особенности структуры Cr, но не все детали этой структуры. То же, естественно, относится и к сравнению интересующих нас в конечном счете групп Hr (mod тп) с группами Hr. Это «огрубление» групп гомологий по модулю по сравнению с полными группами гомологий дает, с другой стороны, ту выгоду, что вычисление Hr (mod тп)

и, соответственно, Pr (mod га) оказывается индгда проще. Вместе с тем, для некоторых проблем, в частности, для задач, решаемых в теории Морса, информации, содержащейся в pr (mod тп), оказывается достаточно для получения нетривиальных результатов. Смысл «огрубления» Hr при переходе к Hr (mod 2) состоит в том, что эти гомологии «не чувствуют» тех деталей топологической структуры многообразий, которые определяются ориентацией, т. е. связаны с тем фактом, что
50

Глава Z

многообразие разбито не просто на клетки, а на ориентированные клетки. Действительно, циклам +Cr и — сг отвечает один и тот же элемент Cr (mod 2) = Cr/Cr{2), а именно смежный класс сг + Сг(2), поскольку

сг - (-с,.) = 2Cr є Сг(2)

и, следовательно, смежные классы cr -I- Сг(2) и -Cr + Ст(2) совпадают.

Таблица 2

Схема вычисления pr (mod 2) для проективной плоскости

г I I (mod 2) Al А (mod 2) Cr Cr (mod 2) Br (mod 2) Hr (mod 2) Pr (mod 2)
0 аа 0 0 Z Z2 0 Z2 I
1 Pb 0 0 ъ Z2 0 Z2 I
2 Ig 2у Ъ 0 Z Z2 0 Z2 I

Таблица 3

Числа Бетти (mod 2) для двумерных замкнутых многообразий

Pr (mod 2)
Многообразие г = 0 r = I г = 2
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed