Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
вом (2.2.10) имеем
H2(Px)-Z, (2.2.13)
причем, как и выше, B2(Pi) = 0, a C2(Pi) = L2(Pi) = Z.
3. Двумерный n-крендель (Р„). Рассуждая совершенно так же как в предыдущем случае и, исходя из уравнений (2.1.16) и (2.1.17), получаем
(2.2.14)
(2.2.15)
(2.2.16)
4. Проективная плоскость (Ar1). По соображениям, в точности совпадающим с предыдущими случаями, для нульмерной группы гомологий Ho(Ni) разбиения (а) имеем
H0(N1) = L0(Ni) = Z. (2.2.17)
В разбиении а группа одномерных циклов Ci(N1) = L1(TV1), причем Li (Ni) = Z. Подгруппа циклов, гомологичных нулю Bi(Ni), состоит из
5Термин «прямая сумма групп» по содержанию идентичен «прямому произведению групп» с мультипликативной операцией. Напомним, что группа G является прямым произведением своих подгрупп Gi-.. Gn, если:
а) все элементы Gj перестановочны с Gj,
б) любой gd G однозначно представим в виде:
g = gl ¦ g2 ¦ - - ¦ • gn-Для абелевых групп пункт а) всегда выполняется.
H0(Pn) “ Z; Hi(Pi) = Z ф Z ф ... ф Z;
2п
H2(Pn) = Z.
38 Глава 2
одномерных цепей, в которых коэффициенты P = 2j — четные числа (см. формулу (2.1.19)). Смежные классы по подгруппе B1(N1) имеют вид:
Pib + B1(N1) = {Pib + 2 jb} = {(27 + Pi)b}.
Если Pi = 27і, где Ji — целое число, то
Pib + B1(N1) = B1(N1).
Если Pi = 27^ + 1, то соответствующий смежный класс не совпадает с B1(N1). Однако любые два смежные класса Pib+Bi(Ni) и Pib+B1 (N1), где Pi, Pj — нечетные числа, совпадают даже, если Pt / Pj, поскольку
Pib - Pjb = (Pi - Pj)b = 2(ъ - 7j)b Є B1(N1).
Таким образом, имеются всего два разных смежных класса:
h = B1(N1) = {2 76}
и
^ = 6 + 51(/^) = ((27 + 1)6}.
Отсюда следует, что одномерная группа Бетти проективной плоскости H1(N1) состоит из двух элементов h и h'; при этом
h + h = h; h + h! = h'; h' + h' = h.
Очевидно, что H1(N1) изоморфна аддитивной группе целых чисел О и 1 с операцией сложения по mod 2
0 + 0 = 0; 0 + 1=0; 1 + 1 = 0;
(изоморфизм: 0 <—> h, 1 <—> h'). Эта группа обозначается через Z2- Заметим, что Z2 изоморфна фактор-группе группы Z по подгруппе четных чисел Z2=Z/2Z. Итак
H1(N1)^Z2. (2.2.18)
Группа двумерных циклов C2(N1) в случае разбиения а) состоит из одного элемента — нуля, который, конечно, гомологичен нулю, так как
Теория гомологий 39
формально является границей трехмерной цепи /3 = 0. Следовательно, мы имеем
H2(AT1)=O. (2.2.19)
Рассмотрим теперь группы ГОМОЛОГИЙ проективной ПЛОСКОСТИ Ni для разбиения б). Группа нульмерных циклов Co(Ni) для этого разбиения, как и для любого другого, совпадает со всей группой нульмерных цепей Lo(Ni). Подгруппу же нульмерных циклов, гомологичных нулю, B0(Ni) согласно равенствам (2.1.21) образуют циклы саг = —сц. Перепишем Co(TVi) = Lo(Ni) в другой форме, изменив базис:
C0(TVi) = {aioj + Ct2Ci2] = {a+ai + a_(a2 - ai)},
где
a+ = ai + CX2; a_ = a2.
Эта запись показывает, что все смежные классы групп нульмерных циклов по подгруппе циклов, гомологичных нулю Bo(N1)={а_(а2—ai)} имеют вид:
a + ai + B0(Ni).
При этом два смежных класса с различными а+ всегда различны, так как если
а+ - а'+ ф 0,
то
(a+ - a'+)ai ф а_(а2 - Oi) ? B0(Ni).
Из сказанного следует, что для рассматриваемого разбиения проективной плоскости, так же как и для разбиения а
H0(N1) S* Z.
Группа одномерных циклов Ci(TVi) в соответствии с (2.1.21) имеет вид:
C1(Ni) = (32 Ъ2 + /??.
Подгруппа же циклов, гомологичных нулю, B1(Ni) в данном случае получается из Ci(TVi) при условии, что коэффициент
/? = 27,
40
Глава 2
т. е. является четным числом:
Bi(Ni) = {2762 + /??}-Элементы смежного класса по этой подгруппе имеют вид:
{032 + 27)62 + 03з+/3ы-
Два смежных класса, соответствующие коэффициентам /?, /? и /3'2, /З'3, совпадают, если
Р2-Р'2=Ь',
т. е. является четным числом. Из этого следует, что имеется только два различных класса, а именно сама подгруппа Bi(Ni) и смежный класс
&2 + РзЬз + Bi(Ni) = {(27 + 1)Ъ2 + (Рз + Р)Ьз}.
Снова, как и в разбиении а), получаем
Hi(Ni)** Z2.
Наконец, группа двумерных циклов C2(Ni), согласно выражению (2.1.21), состоит из одного элемента 71 = 72 = 0, т. е. из нулевого цикла, который вместе с тем гомологичен нулю (ограничивает нулевую трехмерную цепь). Отсюда следует, что и для данного разбиения проективной плоскости
H2(Ni) = 0;
Совпадение (изоморфизм) групп Бетти для двух различных разбиений проективной плоскости Ni, разумеется, неслучайно. Имеет место общая теорема, доказывать которую мы здесь не будем, что группы гомологий различных разбиений одного и того же многообразия изоморфны. Поскольку же каждое данное разбиение является очевидным топологическим инвариантом (группы цепей не меняются при топологических преобразованиях), то указанная теорема означает, что группы гомологий являются топологическими инвариантами, т. е., что группы гомологий гомеоморфных многообразий изоморфны.
5. Бутылка Клейна (N2). Для вычисления групп гомологий этого многообразия мы используем разбиение на рис. 17 (формулы (2.1.25),
