Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
/(z) = [P2n(Z)]1/*, (1.3.5)
где P2n(Z) — полином степени ‘In, гомеоморфна кренделю с п — 1 дырами. В этом можно убедиться, основываясь на следующих соображениях. Каждый из листов гомеоморфен сфере с п разрезами, которые можно считать расположенными на экваторе, полагая, что каждый разрез соединяет две точки ветвления и разрезы не пересекаются. Склеивание листов произведем так, чтобы одна из сфер находилась внутри другой. После этого произведем еще одно преобразование: отразим точки внутренней сферы относительно экваториальной плоскости, оставляя при
5B дальнейшем крендель с п дырками обозначается через Pn, а сфера с п листами Мёбиуса — через Nn. Обычную двумерную сферу Po мы будем обозначать символом S2. Заметим, что вклеивание листов Мёбиуса в Pn не дает поверхностей, топологически отличных от Nn. Вклеивание 712 листов Мёбиуса в Pni дает поверхность Nns с пз = 27Ji + 712- Доказательство сформулированной в тексте теоремы сложно и здесь рассматриваться не будет. Поверхности Nn самопересекающиеся. Реализация N2 в виде самопересекающейся поверхности общеизвестна. Укажем на реализацию в виде такой поверхности с самопересечением проективной плоскости Ni. Ей гомеоморфна поверхность, удовлетворяющая уравнению:
(ах\ + bx%)(xf + а:| -f ж§) — 2z(x\ + ж|) = 0.
Линией самопересечения у этой поверхности является отрезок прямой. Обратим внимание на то, что матрица dFi/dxj в данном случае имеет особенность на многообразии, а именно dF/dxi = ОТ/с)х,2 = ОТ/Oxs = 0 вдоль линии самопересечения.
6Напомним, что алгебраическая функция и = f(z) задается уравнением:
«т + Ri(Z) ¦ Um-1 + • • • + Rm(Z) = О,
где Rk(z) — рациональные функции от z. Так как при т> 4 уравнение для «, вообще говоря, неразрешимо в радикалах, то алгебраическая функция и в общем случае не выражается через элементарные. Главные же свойства алгебраической функции в том, что она имеет конечное число особых точек — полюсов или ветвлений, причем все ветвления — конечного порядка (корневые).
Введение
21
этом края разрезов, расположенных на экваторе, на месте. Это преобразование является «(п — 1)-кренделем».
1.4. Учебная литература
Прокомментируем предложенный список литературы.
Книги [1-4] наиболее просты и предназначены для первоначального ознакомления с предметом. Однако они содержат мало материала: при этом работа [4] так же, как и более серьезные руководства [5-9], рассчитаны на читателя-физика. Наибольшее пересечение с предлагаемым курсом имеет работа [6]. В работах [10-13] содержатся необходимые предварительные сведения по теоретико-множественной топологии, теории групп и теории многообразий. Отметим, однако, что эти сведения в необходимом объеме содержатся и в серьезных руководствах по алгебраической топологии, например, в работах [14] и [15]. Это наиболее полные руководства по изучаемому предмету. К этим двум монографиям следует добавить работы [16-19]. Впрочем последняя книга есть только первая часть задуманного курса. Много информации о поверхностях размерности 2 можно найти в работе [20]. Также много конкретной информации содержится в первоначальной работе Пуанкаре и ее дополнениях [21]. Книги [22-25] содержат сведения по теории Морса, а работы [13] и [25] — о векторных полях и многообразиях. Проблемы, связанные с теорией функций комплексного переменного, освещаются в работах [7], [20], [26], [27].
Глава 2 Теория гомологий
1. Клеточный комплекс. 2. Группы циклов и группы гомологий (группы Бетти). 3. Числа Бетти и характеристика кручений. 4. Гомологи и числа Бетти по модулю. 5. Многообразия с краем. Относительные гомологии. 6. Последовательности Майера — Вьеториса и теорема сложения для чисел Бетти. 7. Когомологии.
2.1. Клеточный комплекс
Для выяснения топологических характеристик многообразия следует разбить его по возможности на простые составляющие. Мы изучим так называемое клеточное разбиение многообразия. Клеткой называется часть многообразия, гомеоморфная открытому шару
Ot
Bd = {х Є Rd I Yl хз < !}• При разбиении возникают клетки различ-
J=I
ного числа измерений от нуля (точка) до размерности многообразия.
Клеточное разбиение позволяет построить некоторую алгебраическую структуру — клеточный комплекс. Можно выделить такие алгебраические характеристики комплекса, которые не зависят от разбиения и сохраняются для топологически эквивалентных пространств. В этом и состоит предмет алгебраической топологии — изучение алгебраических инвариантов («квантовых чисел») топологических пространств.
Дадим определение клеточного разбиения. Клеточным разбиением многообразия M называется конечное семейство E его клеток а (? = {а}), удовлетворяющее условиям:
1) M = У а, т. е. клетки составляют покрытия М, причем попарно
аЄ?
не пересекаются (a' П а = 0, если а ф а').
2) Для каждой клетки а ? S существует гомеоморфизм фа шара Bd в а (см. определение клетки), который продолжается до непрерывного
Теория гомологий
23
отображения <ра границ шара — сферы Sd-1 — на множество клеток меньшей размерности, примыкающих к а. Отображение <ра не обязано быть гомеоморфизмом, что будет видно из примеров. Отметим еще, что число d определяют размерность клетки а.
