Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
CW + Br = (4° + К} (2.2.6)
есть по определению совокупность всех элементов, указанных в фигурных скобках (Cj0 — фиксировано, Ьт — пробегает всю подгруппу Br).
4Это нужно прежде всего для того, чтобы выделять классы негомологичных нулю циклов с помощью некоторого алгоритма, а не указанием их словесной характеристики, например, «меридиан», «параллель» и т. п., что не всегда возможно сделать вполне определенным образом (зависит от реализации поверхности), и уж во всяком случае неудобно для приложений к функциональному анализу. Мы могли бы относить циклы к одному классу, если они переводятся друг в друга непрерывным преобразованием на данной поверхности (если они, как говорят, гомотопны друг другу). Ho, приняв классификацию по этому признаку, мы замечаем, что и гомологичные нулю циклы не все гомотопны друг другу; одни, например, могут быть стянуты в точку (гомотопны нулю), другие, например, цикл, охватывающий «перешеек» между двумя дырами кренделя, нет. Ho тогда гомологичность или него-мологичность цикла нулю отходит на второй план, а на первый выдвигается вообще перечисление негомотопных классов циклов. Такой подход составляет содержание теории гомотопий. Теория гомотопий и теория гомологий — два возможных способа алгебраического выявления топологических свойств, каждый из которых, по-видимому, является полным сам по себе, по крайней мере в отношении ряда многообразий. В тех или иных прикладных задачах эти два подхода могут оказаться удобными в разной мере аналогично тому, например, как в теории представлений можно использовать инфинитезимальный подход или интегральные методы.
Теория гомологий 35
Два смежных класса + Br и Cr^ + Br совпадают тогда и только тогда, когда
- С«> Є Br. (2.2.7)
Два различных смежных класса не имеют общих элементов. Поэтому Cr может быть разложена в прямую сумму смежных классов Cr^ -f Br. Совокупность смежных классов образует группу. Именно суммой двух смежных классов +Br и Cr^ + Br является множество всех элементов:
+Ь2+ C^ + Vr) = Cf) +Br+ Cf] + B2, которое само является смежным классом:
(С« + Cij)) + Br.
Эта группа смежных классов называется фактор-группой Hr группы Cr по подгруппе Br и обозначается так:
Hr = Cr / Br.
Фактор-группа Hr группы циклов Cr по подгруппе Br циклов, гомологичных нулю, называется группой гомологий или группой Бетти. Элементы же группы гомологий, т. е. смежные классы, называются классами гомологий. Важным свойством Hr является то, что она гомоморфна Cr. Соответствие устанавливается по правилу:
—>• CjP + Br,
которое, очевидно, сохраняет групповую операцию. В силу гомоморфизма, структура группы Hr сходна со структурой Cr. Вместе с тем Hr несколько «проще», если Br нетривиальна, т. е. не состоит из одного только элемента — нуля; в этом случае Hr =Cr, а информация, содержащаяся в структуре Hr, содержательна, если только Br / Cr, так как в этом случае Hr состоит из одного единственного элемента — нуля Hr.
Рассмотрим группы гомологий разбиений многообразий, упомянутых в разд. 2.1.
1. Сфера S2. Для нульмерных цепей Lq(S2) = Co(Sz), так как всякая нульмерная клетка (точка) а является циклом (Да = 0). Нульмерных циклов, гомологичных нулю, нет, кроме а = 0, поскольку вообще
36
Глава 2
нет одномерных циклов, кроме Ii = 0, границами которых в принципе могли бы быть нульмерные циклы. Таким образом, B0(Sz) состоит из одного элемента Ь0 = 0, и потому
H0(S2) = C0(S2)/B0(S2) = C0(Sz) = L0(S2).
Заметим, что группа L0(Sz) и, следовательно, H0(S2) изоморфна аддитивной группе целых чисел (последнюю принято обозначать буквой Z). Итак,
H0(Sz) “ Z. (2.2.8)
Группа одномерных циклов Ci(Sz), как это следует из выражений (2.1.9), состоит из одного элемента — нуля. Поэтому
#i(Sz) = Ci (Sz)/Bi (Sz) = 0. (2.2.9)
Наконец, группа двумерных циклов C2(Sz) = LZ(S2) = Z, причем циклов, гомологичных нулю, кроме нулевого (C2 = 0), нет, так как ни одна отличная от нуля двумерная клетка не ограничивает трехмерной клетки, поскольку отличных от нуля трехмерных клеток нет. Что же касается цикла C2 = 0, то формально он является границей цепи Із = 0. Таким образом, B2(Sz) = 0,
H2(Sz) = C2(S2)IB2(S2) Si Z. (2.2.10)
2. Двумерный тор P1. Исходя из разбиения (2.1.11) и равенства (2.1.12), заключаем следующее:
C0(Pi) = L0(P1) S Z.
Нульмерных циклов, гомологичных нулю, кроме C0 = 0, нет, так как мередиан bi и параллель Ь2 замкнуты и потому отличные от нуля нульмерные циклы не ограничивают одномерных циклов. Что же касается C0 = 0, то он является формально границей одномерной цепи с /Зі — /?2 = 0. Таким образом, B0(P1) = 0
H0(P1) = C0(P1)ZB0(P1) = C0(Pi) = Z.
(2.2.11)
Теория гомологий
37
В группе Ci(Pi) циклов, гомологичных нулю, кроме Ci = 0, нет, так как все I2(Pi) — циклы. Что же касается Ci = 0, то он является формально границей цепи I2 = 0 с 7 = 0. Таким образом Bi(Pi) = 0 и
Hi(Pi) = C1(Pi)IBi(Pi) = C1(P1) - Z. (2.2.12)
Указанный в выражении (2.2.12) изоморфизм означает, что Ci(Pi) = Li(Pi) есть прямая сумма двух подгрупп Pibi и @2Ь2, каждая из которых изоморфна аддитивной группе целых чисел Z.5 Наконец, для H2(Pi) в полной аналогии (по тем же причинам) с равенст-
