Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Pn I 2 n I
Nn I Tl I
Приведем теперь, в качестве примера, вычисление Hr (mod 2) и рг (mod 2) для проективной плоскости. Для разбиения а) (формулы (2.1.18) — (2.1.19) схема вычисления передается табл. 2. В табл. 3 приведены числа Бетти по модулю 2 для всех двумерных замкнутых поверхностей. Как видно из табл. 1 и 3, pr (mod 2) для ориентируемых поверхностей Pn равны обычным числам Бетти, тогда как для неори-ентируемых поверхностей Nn Pr (mod 2) ф рг. Мы видим также, что при переходе к гомологиям по модулю 2 соотношение двойственности Пуанкаре имеет место для всех поверхностей, как ориентируемых, так и неориентируемых:
рп-г (mod 2) = Pr (mod 2).
(2.4.9)
Теория гомологий
51
Из табл. 3 также видно, что числа рт (mod 2) в отличие от рт не определяют многообразие однозначно: рт (mod 2) одинаковы для Р* и JV2* в частности, для тора и бутылки Клейна.
Отметим, что особенность проективной плоскости, состоящая в равенстве 1 для всех чисел Бетти (mod 2), сохраняется и в многомерном случае п > 2.
2.5. Многообразия с «краем». Относительные гомологии
В случае многообразий с краем такую же роль, как и циклы, играют незамкнутые подмногообразия, «опирающиеся на край», т. е. подмногообразия, границы которых лежат в границе всего многообразия в целом (в «крае»). Действительно, поверхность с краем может быть разделена на части не только замкнутой кривой — циклом, но и всякий кривой, начинающейся и заканчивающейся в точках границы. С другой стороны, как тор от сферы отличается наличием циклов, не делящих поверхность на отдельные части (не гомологичные нулю), так и круговое кольцо от круга отличается наличием классов, не делящих поверхность незамкнутых линий, опирающихся на границу (внутреннюю и внешнюю окружности).
Отсюда ясно, что в случае многообразий с краем теория гомологий должна быть видоизменена таким образом, чтобы кривые (подмногообразия в общем случае), опирающиеся на край, играли роль, аналогичную циклам в теории замкнутых поверхностей (многообразий). Для этого точки упомянутых кривых, лежащие на границе поверхности, должны как бы исключаться, считаться несущественными. Мы не можем себе позволить отождествлять их каким-либо образом, так как это изменило бы топологические свойства поверхности, например, отождествление граничных окружностей кругового кольца превратило бы кольцо в тор или бутылку Клейна в зависимости от схемы отождествления. Сделать же указанные точки несущественными можно, объединив их в некоторое множество, которое затем будет рассматриваться, как нулевой элемент некоторой аддитивной группы. Очевидно, что такой группой должна быть фактор-группа цепей по какой-то из ее подгрупп.
Сказанное означает, что видоизменение теории гомологий в случае
52
Глава 2
многообразий с краем должно состоять в переходе от группы цепей к ее фактор-группе по подгруппе цепей, лежащих в границе. Подобная фактор-группа есть разновидность группы так называемых относительных цепей. В общем случае, группа относительных цепей определяется следующим образом. Пусть NcM есть некоторое подмногообразие многообразия М. Допустим далее, что клеточное разбиение N есть часть клеточного комплекса М, и что поэтому группа цепей L(N) есть подгруппа группы цепей L(M). Тогда фактор-группа
называется группой относительных цепей. При определенном выборе клеточного базиса относительную цепь l(M, N) можно было бы заменить цепью l(M\N), где M\N — разность множеств M и N. Ho такое определение было бы неинвариантно относительно выбора базиса. Оно практически совпало бы с выражением (2.5.1), если бы базис разбивался на две части: клетки, лежащие в M \ N, и клетки, лежащие в N. Однако при переходе к новому базису
замена L(M, N) на L(M \ N) уже была бы неоправданна, тогда как равенство (2.5.1) имеет смысл всегда и при любом выборе базиса определяет один и тот же объект. Чтобы осуществить намеченное обобщение понятия цикла, включающее в циклы кривые, опирающиеся на границу, определим границу Alr(M, N) относительной цепи lr(M, N) (в дальнейшем мы обозначим элементы группы цепей малыми буквами, а сами группы — большими). Относительная r-мерная цепь lr(M, N), согласно выражению (2.5.1), есть смежный класс:
Очевидно, что граница Alr (М, N) должна быть относительной г — 1 цепью, т. е. смежным классом по подгруппе Lr-i(N). Элементом, порождающим этот смежный класс, должна быть граница Alr(M), являющаяся обычной (г — 1)-мерной цепью. Таким образом, мы полагаем
L(M, N) = L(M)/L(N)
(2.5.1)
з
Ir(М, N) = Ir(M) + Lr(N).
(2.5.2)
Alr(М, N) = Alr(M)+ Lr-i(N). (2.5.3)
Теория гомологий 53
Согласно равенству (2.5.3), обычный цикл (Alr(M) = 0) и цепь, опирающаяся на N, (Ah(M) ф 0, но Al2(M) Є Lr^1(N)) теперь совершенно уравниваются: в обоих случаях
А1Г(М, N) = Lr-X(N) = 0(Lr-i(M)/Lr^i(N)), (2.5.4)
Нетрудно убедиться, что как и обычная граница, относительная граница удовлетворяет требованию, чтобы граница границы равнялась нулю. Действительно, учитывая, что A(Alr) = 0, из выражения (2.5.3) имеем
A(Alr(M, N)) = А(АIr(M)) + Lr-r(N) = Lr-r(N) = 0. (2.5.5)
