Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 16. Разбиение бутылки Клейна (JV2).
з
і
6
(2.1.22)
і
з
h(N2) =YjHSi-
1
Теория гомологий
31
Нульмерные цепи являются циклами. Кривые b2, , Ь5, Ь6 — также
циклы, и потому граница одномерной цепи
Так как
то
Al1(N2) =Pibbl +ZhAb4.
Ab1 = аз — а2; Ab4 = U1 — и2,
Al1(N2) — —(fix + ft4) 0,2 + P4U1 + P1 (і-a ¦ (2.1.23)
Таким образом, цепи P1 = P4 = 0 являются циклами. Далее имеем
Al2(N2) = 27]Ь5 - (7х + 7з)*>б + 272? - (72 + 7з)Ьз- (2.1.24)
Возможно также разбиение, аналогичное п. 4а. Оно показано на рис. 17. Для этого разбиения имеют место группы цепей:
з
Io(^2) = Ctiai + а2а2; bx(N2) = ^/??; I2(N2) = 7g. (2.1.25)
1
Соответственно для границ можно написать
AIq(N2) = 0; Al1(N2) = Рз(а.і — «з); Al2(N2) = 27(61 + Ь2).
(2.1.26)
U1 U4 \
2 Поверхность _____________сферы
Рис. 17. Разбиение (JV2) с одной двумерной клеткой.
32
Глава 2
2.2. Группы циклов и группы гомологий (группы Бетти)
Ясно, что совокупность цепей-циклов сама является группой, т. е. образует подгруппу группы цепей. Она называется группой циклов и в дальнейшем обозначается символом C2(M), где M — обозначение многообразия, r-размерность циклов. В этой группе имеется подгруппа циклов Bj(M) являющихся границами (г + 1)-мерных клеток. Цикл, являющийся границей, называется гомологичным нулю. Это записывается так
Cr ~ 0.
Легко почувствовать, что выделение гомологичных нулю циклов из всех прочих разумно, поскольку топологически неэквивалентные поверхности отличаются как раз количеством негомологичных нулю циклов. Например, на сфере всякий одномерный цикл ограничивает, т. е. гомологичен нулю, а на торе имеются два типа неограничивающих (негомологичных нулю) циклов — мередиан и параллель (см. рис. 1). Зато любые три цикла, как бы они ни были выбраны, обязательно ограничивают. Аналогичным образом на 2 кренделе имеются четыре-типа циклов неограничивающих, но любые пять — ограничивают. Соответственно, на n-кренделе имеются 2п типов неограничивающих циклов, но любые 2п + 1 — ограничивают. Говорят, что «порядок связности» h п-кренделя (Pn) решен 2п + 1:
Zi(Pn) = 2п + 1. (2.2.1)
Таким образом, порядок связности любой замкнутой ориентируемой поверхности нечетен.
В отличие от этого порядок связности замкнутых неориенти-руемых поверхностей может быть как четным, так и нечетным. На проективной плоскости (Ni) имеется один тип неограничивающих циклов, т. е. тех, которые начинаются и оканчиваются в бесконечно-удаленных точках или на окружности с отождествленными диаметрально-противоположными точками (рис. 14, 15). Вместе с тем любые два цикла ограничивают. Поэтому порядок связности Ni равен 2. Поскольку любая неориентируемая поверхность (Nn) гомео-
Теория гомологий
33
морфно сфере с Ti дырками, заклеенными листами Мёбиуса, имеем
Ji(Nn) = п + 1. (2.2.2)
Порядок связности— исторически первый количественный топологический ивариант поверхности был введен впервые Риманом. Порядок связности Римана h однозначно выражается через эйлерову характеристику многообразия х- Поскольку имеет место соотношение
X = 3 — h. (2.2.3)
Напомним, что эйлерова характеристика \ определяется числом Ко нульмерных («вершин»), K1 одномерных («ребер») и Ki двумерных («граней») клеток какого-либо разбиения многообразия по формуле
X = K0-K1 + K2. (2.2.4)
Эйлерова характеристика не зависит от разбиения и является топологическим инвариантом; это ясно из формулы (2.2.3), но, кроме того, может быть установлено и непосредственно на основе чисто геометрических соображений. Исходя из рассмотренных в разделе 2.1 разбиений, получаем, в частности, что для поверхностей, гомеоморфных сфере, x(S2) = 2, для тора x(Pi) = 0, а для кренделей более высокого порядка х(Рп) < 0. Аналогично для проективной плоскости ^(Ar1) = 1, для бутылки Клейна X(N2) = 0, а для остальных замкнутых неориенти-руемых поверхностей x(Nn) < 0. Отметим, что для n-мерных многообразий эйлерова характеристика дается выражением (Пуанкаре, 1895):
Tl
X = ?(-1)^. (2.2.5)
Г=1
Здесь Kr — число г-мерных клеток.
Для поверхностей, гомеморфных сфере Sn, имеет место равенство:
X(Sn) = 1 + (-1)”.
Отсюда, в частности, при п = 2 получается x(S2) = 2.
Из сказанного видно, что рассмотрение негомологичных нулю циклов приводит к такому топологическому инварианту, как эйлерова
34
Глава 2
характеристика, или к равноценной величине — порядку связности. Вместе С тем легко усмотреть, ЧТО ТОЛЬКО ОДНОЙ велечины X (или h) недостаточно для описания топологического многообразия, поскольку негомеоморфные друг другу многообразия могут иметь одинаковые х, например, тор и бутылка Клейна. Стремление получить более полный набор количественных характеристик топологических свойств многообразий приводит к необходимости рассмотреть структуру групп циклов Cr(M).4
Очевидный способ изучения структуры группы состоит в разложении ее в прямую сумму некоторых подмножеств — смежных классов по одной из подгрупп. В случае некоммутативных групп предпочтительно разложение по смежным классам нормального делителя. В абелевой (аддитивной) группе, каковой является всякая группа цепей, любая подгруппа является нормальным делителем, в частности, и подгруппа гомологичных нулю циклов Br группы ЦИКЛОВ Cr- Если сіг) Є C2 к Br ? Br С Cr — любые элементы соответственно Cr и Br, то смежный класс
