Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшее построение теории относительных гомологий уже совершенно очевидно. Мы говорим, что относительная цепь Cr (М, N) является относительным циклом, если
ACr(M, N) = 0. (2.5.6)
Ясно, что относительные циклы образуют группу Cr(M, N)cLr(M, N).
В группе Cr(M, N) мы различаем подгруппу Br(M, N) относительных циклов br(M, N), являющихся относительными границами относительных цепей br+i(M, N). Наконец, группой г-мерной относительной гомологии мы называем фактор-группу11.
Hr(M,N) = Cr(M,N)/Br(M,N). (2.5.7)
Рассмотрим некоторые примеры вычисления группы относительных гомологий для многообразий с краем.
1. Двумерный шар (круг) Rf. Клеточное разбиение показано на рис. 19. Оно содержит нульмерную, одну одномерную и одну двумерные клетки:
Io(Ro) = aai h(Rl)=Pb, I2(R20)=Jg. (2.5.8)
11 Для связи с литературой укажем, что НГ(МУ N) называют также относительной гомологией M mod N.
а
Рис. 19. Простейшее клеточное разбиение круга.
54 Глава 2
Далее имеем
Al0 = Al1 = 0; Al2 = 7 Ъ. (2.5.9)
В качестве подмногообразия N выбираем границу круга. Тогда
аа Є L0(N), Pb Є L1(N), L2(N) = 0
и для групп относительных цепей находим
L0(M, N) = 0; (2.5.10)
L1 (М, N) = 0; (2.5.11)
L2(M, N) = L2(M). (2.5.12)
Очевидно, что все относительные цепи l0(M, N) и I1 (М, N) являются относительными циклами. Поэтому
L0(M, N) = С0(М, N), Li(М, N) = Ci(M, N). (2.5.13)
Для Al2(M, N) имеем
Al2(M, N) = Al2 + L1(N) = 7Ь + L1(N).
Так как yb Є L1(N), то
Al2(M, N) = 0,
т. е.
L2(M, N) = С2(М, N) (2.5.14)
Поскольку все относительные цепи являются относительными циклами, то относительных циклов ЪГ(М, N), являющихся относительными границами нет. Таким образом:
Br(М, N) = 0; г = 1, 2. (2.5.15)
Из выражений (2.5.10)-(2.5.15) следует
Теория гомологий
55
Черта означает здесь относительную гомологию. Если ввести соответствующие числа Бетти рг (ранги групп относительных гомологий Hr), то следовательно мы имеем
P0(R20) = Pi(Rl); Pr(Rl) = і- (2.5.17)
2. Трехмерный шар R3. Простейшее разбиение, очевидно, будет опять одноклеточным, так что
I0 = аа; I1 =0; I2 = Jg', I3 = crS, (2.5.18)
причем клетка g есть сфера S2, которую примем за подмногообразие N. Все цепи, за исключением трехмерной, являются обычными циклами и принадлежат L(N). Для трехмерных же цепей имеем
Al3 = ag Є L2(N). (2.5.19)
Поэтому трехмерные цепи, не будучи обычными циклами, являются, тем не менее, относительными циклами. Далее, L3(N) = 0, так как N — двумерная сфера S2, и в полной аналогии с предыдущим получаем
H0(Rl) = H1(R0) = H2(Rq) = 0, H3(Rl) = Z (2.5.20)
И
P0(R30) = P1(R30) = Pr(R30), P3(R30) = і- (2-5.21)
ь,
Рис. 20. Клеточное разбиение кругового кольца.
3. Двумерный шаровой слой (круговое кольцо) R2. Простейшее клеточное разбиение показано на рис. 20.
56
Глава 2
В качестве подмногообразия N выбираем границу кольца bi Ub2. Тогда ясно, что группа нульмерных относительных цепей есть ноль, а группа одномерных относительных цепей Li(M, N) состоит из одночленных цепей (ЗзЬз + Li(N), т. е.
L1 (М, N) =
(2.5.22)
Легко видеть, что
L1 (М, N) = C1W, N),
т. е. нульмерные и одномерные цепи — циклы. Далее, одночленная двумерная цепь также является относительным циклом, поскольку граница двумерной клетки лежит целиком в N. Следовательно
L2(M, N) = С2(М, N)
и все цепи опять являются циклами, так что все В2(М, N) — 0. Поэтому мы получаем:
Iio(R1) = 0, H1(Ri) = Z1, H2(R21) = Z (2.5.23)
ИЛИ
Po(Ri) — о,
P1(Rl)=P2(R2I) = I- (2.5.24)
Мы видим, что Pr(Rf) ф рг(До), т. е. наши группы относительных гомологий различают негомеоморфные многообразия.
4. Лист Мёбиуса M1. Клеточное разбиение воспроизведено на рис. 21. В качестве подмногообразия N выбираем геометрическую границу листа Мёбиуса — окружность ^1. Тогда цепи I2 (M) выглядят так:
Рис. 21. Клеточное разбиение листа Мёбиуса M?.
Io — Ctidi + ot2a2', I1 — Pjbj",
i=i
h = Ig
(2.5.25)
Теория гомологий 57
из границы
AZ — 0; Ali — Рз(а2 — Gi); Al2 = 761 — 27?.
(2.5.26)
Относительные цепи:
Io (AT, JV) = а2 а2 + Lo(N);
Z1 (М, N) = Zhb2 + p3b3 + L1(N); (2.5.27)
l2(M, N) = 7g
или
L0(M, N) = Z; L1 (М, N) “ : L2(M, N) Si Z.
(2.5.28)
Относительные границы:
А10(М, N) = 0; C0(М, N) = L0(М, N) S Z (2.5.29)
AZ1 (М, JV) = Рз(а2 - O1) + L0(Af) = /З3а2 + I0(JV). (2.5.30)
Из равенства (2.5.30) следует, что группа одномерных относительных циклов состоит из цепей с P3 = 0:
C1(M) N) = р2Ь2 + L1(N) (2.5.31)
или
C1 (М, N) “ Z. (2.5.32)
Далее имеем
AZ2 (М, JV) = Jb1 - 2Т62 + L1 (JV) = —2762 + L1 (JV) (2.5.33)
и, следовательно, относительным циклом будет только цепь С 7 = 0 или
С2(М, N) = 0. (2.5.34)
Сравнивая выражения (2.5.27) и (2.5.30), замечаем, что В0(М, N) = С0(М, N) = L0(M, N),
58 Глава 2
откуда следует
H0(Ml) “ 0. (2.5.35)
Сравнивая выражения (2.5.31) и (2.5.33) устанавливаем
Bi(M, N) = -2jb2 + L1(N) й Z(2). (2.5.36)
