Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. что и короткая последовательность
Ht(M1) © Ht(M2) А Нт(Мх U M2) А Нг_і(Мі П M2) (2.6.54)
является точной в НТ(МХ U M2). Сводя вместе последовательнос-
ти (2.6.40), (2.6.51) и (2.6.54) мы получаем последовательность Майера-Въеториса, точную е каждом звене:
Hr(M1 П M2) A Hr(M1) ® Hr(M2) А
_ (2.6.55)
-А Hr (M1 U M2) A Hr-i(Mi П M2) А .
Эта последовательность может быть использована для вычисления НТ(МХ UM2) по Hr(M1), Hr(M2) и Hr_1(M1 (IM2). В частности, с помощью последовательности (2.6.55) можно получить теорему сложения для чисел Бетти и эйлеровой характеристики. Вывод этих теорем сложения из точной последовательности (2.6.55) опирается на два факта: основную теорему о гомоморфизме (2.6.3) и связь между рангами абелевой группы, ее подгруппы и фактор-группы по данной подгруппе. Установим эту связь.
Пусть А — свободная группа с конечным числом образующих и В — ее подгруппа. В группе А всегда можно выбрать такой базис, чтобы элементы аєАиЬєВсА были представлены в виде:
R(A) R(B)
a = ^ ^ сцb = ^ Pjdji i=i і=і
Qi Є Z,
(3j Є Z(m), j = I, ... , R(A),
Pj Є Z, j = r + l, ... , R(B).
Здесь R(A), R(B) — ранги А к В, Z(m) — группы целых чисел, кратных числам тп. Примем, что Pj при j = 1, ... , г, прнадлежит Z(m), вообще говоря, с различными тп и что Pj Є Z для j = г + 1, ... , R(B).
78 Глава 2
Тогда число различных смежных классов по подгруппе В, порожденных элементами
Г
otjcij,
3=1
конечно. Совокупность этих смежных классов образует конечную подгруппу фактор-группы Ранг этой подгруппы, очевидно, равен нулю. Далее, смежные классы, представителями которых являются элементы
R(B)
У! aj aj і
j—T+1
совпадают с самой подгруппой В. И только смежные классы, определяемые элементами
R(A) i-R(B)+1
образуют свободную подгруппу фактор-группы Ранг этой свободной подгруппы равен R(A) — R(B). Тем самым доказано соотношение
R(aIb) = R(A) - R(B). (2.6.56)
Мы считали группу А свободной. Если А — группа с кручением к, то — свободная группа. Так как R(A/^) = R(A), то формула (2.6.56) справедлива вообще для любой абелевой группы. Основываясь на соотношениях (2.6.3), (2.6.55) и (2.6.56), получим теперь теорему сложения для чисел Бетти. Согласно выражениям (2.6.3) и (2.6.56), имеем
R(Hr(Ml n M2)) = .R(Imit) + ЩКегі*) = Д(Кегї») + Я(Кегг„).
(2.6.57)
Последнее равенство обусловлено точностью последовательности Майе-ра-Вьеториса. Действуя аналогично, находим
R(Hr(Mi) © Ht(M2)) = R(KerAt) + R(Kerit), (2.6.58)
Теория гомологий 79
ЩНГ(Мг U M2)) = JZ(Kerii) + Я(Кег Д.), „ в ,Q)
і; : Hr-IiM1 П M2) —> Hr^1(M1) © Яг_і(М2)
По определению чисел Бетти Pr(M)
Pr(M) = ЩНГ(М)).
Вспоминая далее, что
Keri* = я;(Мі п м2), Keri'* = я;_!(M1 п м2), (2.6.60)
где Я'(M1 П M2) — группы гомологий связывающих циклов, и вводя обозначение:
р'ДМ, П M2) = Д(Я;(М! П M2)), (2.6.61)
используя соотношения (2.6.57), (2.6.58) и (2.6.59), мы приходим к окончательной формуле:
рт(Мх U M2) = Pr(M1) + Pr(M2) - рг(Мг П M2)+
+Pfr(Mi П M2) + Pfr.!(Mi П M2).
Это и есть формула сложения для чисел Бетти. Она выражает числа Бетти всего многообразия M1 U M2 через числа Бетти подмногообразий M1, M2, M1 PlM2 и ранги групп связывающих циклов р'т(М\ (ЛM2) и рг(Мі П M2).
Из формулы сложения для чисел Бетти (2.6.62) следует простая формула сложения для эйлеровой характеристики х, определяемая формулой (2.3.7). Чтобы получить эту формулу, заметим прежде всего, что если размерность многообразия есть п (г SC Ti), то
P^(M1OM2)=O, (2.6.63)
так как циклы максимальной размерности Ti не могут быть гомологичными нулю (нет циклов размерности Ti + 1, границами которых могли бы быть рассматриваемые циклы). Умножая формулу (2.6.62) на (—1)г и складывая все равенства, начиная с г = Ti и кончая г = 0, получим, с учетом равенства (2.6.63) искомое соотношение:
x(Mi U M2) = х(Мі) + х(М2) - х(Мі П M2). (2.6.64)
80
Глава 2
Из выражения (2.6.62) и (2.6.64) следуют очевидные формулы: если M1 П M2 = 0, то
рг(Мх U M2) = Pr(Mi) + Pr(M2),
Х(МХ U M2) = X(M1) + х(М2).
Формулы сложения (2.6.62) и (2.6.64) входят в рабочий аппарат приложений теории гомологий к рассматриваемым в данном курсе вопросам теории функций. Поэтому с нетривиальными примерами практического применения формул сложения мы встретимся несколько позже (см. раздел, посвященный теории Морса). Здесь же мы приведем несколько наглядных примеров главным образом для того, чтобы освоиться с числами р’г — рангами групп связывающих циклов.
Пример I. M1 U M2 = S2, M1, M2 = Щ (круг), MrOM2 = S1.
В этом случае пересечение одномерно и в нем имеется единственный связывающий цикл — окружность S1, являющаяся границей M1 и границей M2. Таким образом
P^ = O, Pf1 = I. (2.6.65)
Первое из равенств (2.6.65) имет место потому, что все связывающие нульмерные циклы гомологичны нулю и в пересечении, т. е. попадают в нуль группы Щ(М\ П M2).
Далее имеем
Ро(Яо) = I, Pi(В%) = р2(В%) = 0, Po(Sx) =Pi(Sx) = I, P2(Sx) = 0.
