Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
сг(2) = М2) сг(Мі П M2) — MMi П M2).
(2.6.34)
Из равенств (2.6.34) следует, во-первых, что сг(Мі П M2) — цикл, так как циклами являются сг(1) и Ml); во-вторых, если ЬТ(М\ ПМ2) гомологичен нулю в пересечении или в M2, то пары {Cr(I), сг(2)} и (сг(Мі П M2), cr (Mi D M2)} порождают один и тот же смежный класс (2.6.21). Если же MMi Г) M2) гомологичен нулю в Mi, то переписав Cr(I) и сг(2) в форме:
Cr(I) = MT) + MMi n M2) + c;(Mi П M2); сг(2)=М2)+с'г(МіПМ2), 1
мы заключаем, что пара (сг(1), сГ(2)} порождает тот же смежный класс (2.6.21), что и пара {cJ.(Mi DM2), с'т(М\ ПМ2)}. Тем самым доказано, что все элементы Ker г* имеют вид:
{сг(Мі П M2) + Br(I), сг(Мі П M2) + Вг(2)} Є KerI*. (2.6.36)
Формулу (2.6.36), выведенную формальным путем, можно пояснить следующим примером. Тор на рис. 33 представляет собой объединение M1 U M2 двух своих половинок Mi и M2, пересекающихся в
74
Глава Z
циклах zi, z2. Элемент [a +B1(Mi), с2 + Bi(M2)] Є Hi(Mi) ©Hi(M2) при гомоморфизме г* согласно формуле (2.6.23) переходит в элемент (сг — C2 + Bi (Mi U M2)} Є H1 (Mi U M2), который, очевидно, гомологичен нулю.. Это, на первый взгляд, противоречит формуле (2.6.36), т. к. циклы Ci и с2 не принадлежат пересечению Mi П M2. Ho на самом деле циклы Ci и C2 гомологичны циклу Zi (или Z2) Є Bi (Mi DM2). Таким образом, циклы Cl и C2 можно заменить гомологичным им циклом Zi € Ci (Mi (IM2).
Гомоморфизм цепей і (2.6.17) порождает гомоморфизм г* групп гомологий Нг(Мі П M2) и Hr(Mi) © Hr(M2)
Нг(Мі П M2) Hr(Mi) © Hr(M2) (2.6.37)
с законом соответствия
сг(Мх П M2) + BP(Mi П M2)
{cr(Mi П M2) + Br(Mi П M2), ст(Mi П M2) + Br(Mi П M2)).
(2.6.38)
Сравнивая формулы (2.6.36) и (2.6.38), мы убеждаемся в том, что
Imi* = Keri*. (2.6.39)
Это означает, что последовательность
Яг(Мі n M2) -?* Hp(Mi) © Hr(M2) -?* Яг(Мі U M2) (2.6.40)
точна в Hr(Mi) © Hr(M2).
Найдем ядро гомоморфизма г*. Из соответствия (2.6.38) следует, что нуль группы Hr(M1) © Hr(M2) переходит, во-первых, в нуль группы Hr(MiHM2), т. е. в подгруппу Br(Mi ПМ2) циклов Zv(M1DM2), гомологичных нулю в пересечении MiflM2, и, во-вторых, все смежные классы, порождаемые циклами Vr(MiCiM2),
Z1
Рис. 33. Иллюстрация формулы (2.6.36).
Теория гомологий 75
негомологичными нулю в пересечении, HO гомологичными нулю как в 1, так и в 2. Это означает, что ядром гомоморфизма г* является подгруппа гомологий связывающих циклов Н'т(M1 П M2), рассмотренная ранее в связи с граничным гомоморфизмом. Итак
Kerit = я; (M1 n M2). (2.6.41)
Сопоставление этого равенства с равенством (2.6.14) для граничного гомоморфизма наводит на мысль о том, что точная последовательность (2.6.40) может быть продолжена с помощью граничного гомоморфизма. Сначала используем проектирование
HriM1 U M2) IiriMuM1 П M2); (2.6.42)
к HriM1, M1OM2) можно применить граничный гомоморфизм (2.6.12):
HriMuM1 П M2) ^ Яг_і(Мі П M2). (2.6.43)
в результате мы приходим к гомоморфизму
HriM1 U M2) Яг_і(Мі П M2), (2.6.44)
который является следствием гомоморфизмов (2.6.42) и (2.6.43). Найдем Im Д*. Согласно равенству (2.6.14)
Im Д. = H^1 (M1 П M2). (2.6.45)
При гомоморфизме р, смежный класс (элемент HriM1 U M2)), порождаемый циклом CriM1 U M2), перходит в смежный класс (элемент
HriMllM1 П M2)), порождаемый относительным циклом
ст = IriM1) + Zz2 (M1 П M2), (2.6.46)
где цепь (вообще говоря, не цикл) Zr(M1) однозначно определена равенством:
CriM1 U M2) = Zr(M1) - Zr(2). (2.6.47)
76 Глава 2
Здесь, как и раньше 2 = MiUiW2XMi и /г(2) — часть цепи Cr(MiUM2) Є Є Lr(2). Поскольку сг — цикл, имеем
Alr(M1) = Д/г(2). (2.6.48)
Из этого равенства следует, что
MinM*Alr(M1) Є ?r_i(Mi ПM2). (2.6.49)
Заметим, что границы МіПМ2Alr(M1) есть связывающие циклы, поскольку они являются границами одновременно и в M1 и в M2, т. е. гомологичны нулю и в Mi и в M2. Эти связывающие циклы, имеющие размерность г — 1, порождают подгруппу гомологий связывающих циклов H^M1 П M2).
При граничном гомоморфизме, элементы if'_j(Mi ПМ2) являются образом смежных классов (элементов Hr(M1) M1HM2)), порожденных относительными циклами (2.6.46) (см. соответствие (2.6.13)). Поэтому
Im Д» = Im Д» = H^1(M1HM2). (2.6.50)
Из формул (2.6.41) и (2.6.50) следует, что короткая последовательность
Яг(Мі UM2) ^ Hr^1(M1HM2) Hr^l(M1) ® Hr^1(M2) (2.6.51)
точна в Яг(Мі П M2).
Определим теперь Ker Д*. Согласно равенствам (2.6.15) Ker Д* составляют те элементы группы Hr(Ml4M1HM2) (2.6.46), у которых цепь Ir(M1) является циклом, т. е. Alr(M1) — 0. Тогда из равенства (2.6.47) следует, что цепь Zr (2) так же является циклом, причем в M2. Таким образом, равенство (2.6.47) можно переписать в виде:
сг(Mi U M2) = Cr(Mi) - Cr(M2).
Это означает, что элементы Hr (M1 U M2), которые при гомоморфизме Д» переходят в нуль группы /J7--I(Mi ПМ2), имеют вид:
Cr(M1) - Cr(M2) + Br(Mx U M2) € Ker Д*. (2.6.52)
Теория гомологий
77
Сравнивая формулы (2.6.52) и (2.6.23), заключаем, что
Ker Д* = Imi*, (2.6.53)
