Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Шапиро И.С. -> "Лекции по топологии для физиков" -> 6

Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.

Шапиро И.С., Ольшанецкий М.А. Лекции по топологии для физиков — Москва, 2001. — 126 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipotopologii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 37 >> Следующая


конструкция обобщается на сферу произвольной размерности Sn.
Введение

17

Рис. 5. Пересечение двух карт. Рис. 6. Лист Мёбиуса.

Пример 2. Унитарная группа U(n) как многообразие. Множество унитарных матриц можно рассматривать как поверхность в евклидовом пространстве Rd, где d=n2, заданную уравнением U+=U~1(u Є U(n)). Таким образом, U(ri) является многообразием согласно определениям предыдущего параграфа. Можно, разумеется, ввести локальные координаты на U(n) и доказать, что U(ri) аналитическое многообразие. Одна карта для группы SU(2) хорошо известна — это углы Эйлера. Это действительно локальные координаты, так как они параметризуют группу, из которой выброшено многообразие меньшей размерности.

Пусть Mi и M2 — два многообразия. Рассмотрим множество пар M = {(жі, ж2) I Xi е М, г = 1, 2}. Множество M наделяется структурой многообразия, если задать в нем карты вида:

(Ui х Vj, і х iftj),

где (Ui,ipi) — карты в Mi, a (Vj, tpj) — карты в M2. Многообразие M называется произведением многообразий M1 и M2 (обозначение M = M1X M2).

Примеры: Top = S1 х S1; цилиндр = R1 х S1, д(п+т) = 7?" х Rm.
18

Глава I

Важным понятием является ориентация многообразия. Широкий класс топологических многообразий допускает ориентацию в целом (такие многообразия называются ориентируемыми или двусторонними), причем ориентируемость является топологически инвариантным свойством. Ориентируемы, в частности, многообразия, гомеоморфные шару при любом числе измерений (двухмерный шар — это круг, одномерный — отрезок). Таким образом, окрестность любой точки или вообще всякая часть многообразия, гомеоморфная шару, ориентируема. Ориентировать окрестность — значит задать на ней систему координат. Две системы координат по определению соответствуют двум противоположным ориентациям, если якобиан преобразования от одной системы к другой отрицателен. Если две окрестности пересекаются, то мы можем считать их ориентированными одинаково или противоположно в зависимости от того, как ориентировано пересечение в каждой из этих пересекающихся окрестностей3. Ориентируемое многообразие может быть покрыто системой пересекающихся окрестностей, ориентированных одинаково. Если этого нельзя сделать, то многообразие является неориентируемым (односторонним). Хорошо известным примером ограниченной неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса. Он гомеоморфен прямоугольнику, точки двух сторон которого отождествлены так, как показано на рис. 6а. Можно показать также, что лист Мёбиуса гомеоморфен круговому кольцу, у которого диаметрально противоположные точки внутренней окружности отождествлены (рис. 6б)4.

На рис. 7 показана неориентируемость листа Мёбиуса. Если замкнутую кривую CC' покрыть окрестностями, причем так, что начиная от окрестности точки С каждая последующая окрестность будет ориентирована одинаково с предыдущей, то окрестности точек С и С' окажутся ориентированы противоположным образом: вертикальный орт в точке С' поворачивается на 180° (на реальном листе Мёбиуса, вложен-

3Мы говорим об относительной ориентации пересекающихся окрестностей, так как в этом случае ориентации окрестностей заведомо можно сравнить по ориентации их обшей части (пересечения).

4Для установления этого гомеоморфизма надо разрезать прямоугольник 6, а по линии PR, развернуть полученные части так, чтобы можно было склеить точки А и А', В и В', С а С' к т. д., а затем произвести отождествление точек P и P', R и R1 и т. д.
Введение

19

ном в трехмерное пространство, поворот вертикального орта вокруг горизонтального происходит с выходом из плоскости чертежа непрерывно, и угол поворота достигает 180° при возвращении в исходную точку с другой стороны ленты, склеенной в лист Мёбиуса согласно идентификации точек по схеме рис. 6а.

D'

С

At В<

\ /

" / \

/ \

/ \

-*¦--------V-

,B'

1A'

D

Рис. 7. Неориентируемость листа Рис. 8. Проективная плос-Мёбиуса. кость.

D'

С'

С' D'

Ai

•А'

Ai

'А’

В'

D

•В'

В'

D

>В'

Рис. 9. Бутылка Клейна.

Рис. 10. Тор.

Примерами замкнутых неориентируемых поверхностей могут служить проективная плоскость (рис. 8) и бутылка Клейна (рис. 9).

Отметим, что проективная плоскость гомеомофорна сфере с дыркой, в которую вклеен лист Мёбиуса, а бутылка Клейна — сфере с двумя дырками с вклеенными листами Мёбиуса. Эти гомеоморфизмы можно установить, если воспользоваться реализацией листа Мёбиуса в форме рис. 66, а остальных поверхностей — в представлениях рис. 8-10.

Можно показать, что все замкнутые ориентируемые поверхности гомеоморфны сфере с некоторым числом «ручек» (другая терминология — «кренделю» с некоторым числом дырок), а все замкнутые не-
20

Глава I

ориентируемые поверхности — сфере с некоторым числом вклеенных листов Мёбиуса?.

В частности, все замкнутые римановы поверхности аналитических функций одной независимой переменной гомеомофорны каким-либо из перечисленных эталонных поверхностей. Так, римановы поверхности алгебраических функций гомеомофорны кренделям6. Например, двулистная риманова поверхность функции:
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed