Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
(2.6.66)
Подставив равенства (2.6.65) и (2.6.66) в формулу (2.6.62), получим Po(S2)=P2(S2) = I, Pi(S2) = O в соответствии с табл. 1 раздела 2.3.
Пример 2. M1 U M2 = P1 (двумерный тор) M1, M2 = Rf (круговое кольцо), M1 DM2 = S1 U S1 (два мередиана тора — см. рис. 31).
В данном примере
Po = Pi =
(2.6.67)
Теория гомологий
81
хотя на первый взгляд кажется, что р[ = 2, поскольку пересечение содержит две окружности. В действительности же связывающий цикл — это цепь, в которую обе окружности входят с равными или противоположными по знаку (в зависимости от выбранной ориентации цикла) коэффициентами. Каждая из окружностей в отдельности не является границей ни в M1, ни в M2; границами Mi и M2 являются только обе окружности вместе, подобно тому, как границами отрезка являются две точки, а не каждая из них в отдельности. Таким образом, одномерная подгруппа гомологий в связывающих циклах имеет в данном случае один базисный связывающий цикл и ее ранг равен единице. Ранг группы нульмерных связывающих циклов ясен уже из минимального клеточного разбиения Mi ПМ2: оно содержит по одной точке на каждой из окружностей. Эти две точки, взятые с равными или противоположными по знаку коэффициентами и составляют единственный базисный связывающий нульмерный цикл. Таким образом, ранг Ho(MiPiM2) также равен единице.
Воспользовавшись формулой (2.6.62), найдем числа Бетти кругового кольца R\. Мы имеем
2pT(R\) = PriM1 U M2) + PriM1 П M2) - p'r - Pr-1- (2.6.68)
Поставив сюда выражение (2.6.67), PriM1 U M2) из табл.1 и
PoiMx П M2) = pi (Мі П M2) = 2, P^iM1 П M2), (2.6.69)
получим
PoiR\) = PxiR21) = I, P2(Ri) = 0. (2.6.70)
Этот пример показывает, как, пользуясь формулой сложения для чисел Бетти, можно вычислять группы гомологий для многообразий с краем, пользуясь только числами Бетти для замкнутых многообразий, т. е. в двумерном случае, только простой табл. 1.
Пример 3. MiUM2=Rq (трехмерный шар), M1, M2 = Rfl, MiDM2=Rl (круг).
Поскольку в данном случае Hr(Mi UM2) = Hr(Mi) = Hr(M2), формула (2.6.62) дает
PriR30) = Pr(R20) -PriMi n M2) -p'r-iiMi П M2). (2.6.71)
82
Глава 2
Почти очевидно, что
Po = p'l = Р2 = 0.
(2.6.72)
Некоторого пояснения, пожалуй, требует лишь равенство р\ = 0: на первый взгляд, кажется, что имеется одномерный связывающий цикл — граница круга. Ho этот цикл гомологичен нулю в Mi П M2 и поэтому не дает вклада в ранг группы гомологий связывающих циклов. Таким образом
Пример 4. M1UM2=-Ro (n-мерный шар), M1, M2=Rq, MiDM2-Rq-1 ((п — 1)-мерный шар).
Так же, как и в предыдущем примере
Ро=Р\ = ---=Р'п=Ъ
Из выражения (2.6.74) следует, что эйлерова характеристика п-ме-рного шара равна
так как всякий цикл в сфере Sn 1 = M1OM2 гомологичен нулю в M1PlM2. Формула (2.6.62) с учетом выражения (2.6.74) дает, при пф 1
ft(Sn)=-P1 (S-1J=O, ... , Pn-2(Sn)=—p„_2(Sn_1)=0; (2.6.77)
Pr(R0) = Pr(R0), г = 0,1, 2; P3(R30) = о.
(2.6.73)
и формула (2.6.71) с заменой R3 —> R0, Rfi —> Rfi 1 дает рекуррентное соотношение, из которого следует
P0(RZ) = I, P1(BS) = ¦¦¦= Pt(RS) = 0. (2.6.74)
(2.6.75)
Po(Sn) = 2 — Po(S"-1);
(2.6.76)
Pn-I(Sn) = 1-р„-! (Sn-1); Pn(Sn) = 1.
(2.6.78)
(2.6.79)
Теория гомологий
83
Из этих соотношений получаем следующие числа Бетти:
Po(Sn) = pn(Sn) = 1, Р1 (Sn) = ...= P^1(Sn) = 0. (2.6.80)
Из выражения (2.6.80) следует приведенная ранее формула Пуанкаре для эйлеровой характеристики п-мерной сферы х($п) (см- Разд. (2.2):
Примеры 3-5 показывают, каким образом формулы сложения для чисел Бетти (2.6.62) может быть использована для вычисления гомологических групп многообразий высших размерностей. Аналогичным образом, например, могут быть вычислены группы гомологий п-мерного шарового слоя (кольца), п-мерного тора, п-мерного тороидального слоя и др.
Пример 6. M1LiM2 = Щ; (п-мерный шар), M1 = JZ" (п-мерный шаровой слой).
Вычислим pr(Rn). В данном случае
так как единственным связывающим циклом могла бы быть Sn-1, но она не гомологична нулю в M1 (граница R1 — две сферы Sn-1). Формула (2.6.62) дает
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В случае п = 2 гомеоморфность кругового кольца и боковой поверхности цилиндра, т. е. сферы с двумя дырками, очевидна (наглядна деформация, переводящая одно многообразие в другое). В общем случае шаровой слой и сфера с двумя дырками также гомеоморфны. Это легко усмотреть из того, что шар и сфера с дыркой гомеоморфны. Таким образом, числа Бетти шарового слоя и сферы с двумя дырками совпадают.
X(Sn) = 1 + (-1)".
(2.6.81)
Pr(R^)=PASn-1), г = 0, ... , п — 1, Pn(JRJ) = 0.
(2.6.82)
Пример 7. M1 и M2 = Р" (п-мерный тор), Afi, Af2 = RJ1, M1 П Af2 = = Sn-1 U Sn^1.
84 Глава 2
Эти формулы отвечают тому, что п-мерный тор представляет собой две склеенные п-мерные трубки (две сферы Sn с двумя дырками, ограниченными Sn-1). Название п-мерный тор для такой фигуры соответствует прямому обобщению уравнения обычного тора:
(х\ + х\ + ж| + R2 — г2)2 — 4Д2(ж2 + х\) = О (2.6.83)
