Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
в уравнение:
(х\ + х\ + ¦ ¦ ¦ + х2+1 +R2 - г2)2 - 4R2{x\ + • • • + х2) = О (2.6.84)
для п-мерного тора. Пересечение тора (2.6.83) с плоскостью X3 = О состоит из двух окружностей х\ + х\ = (R ± г)2. Аналогично этому пересечению п-мерного тора (2.6.84) с п-мерной плоскостью ж„+і = О содержит две сферы Sn-1
xl + --- + x2„ = {R±r)2. (2.6.85)
В обоих случаях плоскость делит многообразие на два шаровых слоя,
уравнения которых получаются присовокуплением к уравнению (2.6.84) неравенств:
-Еп4*1 ^ О, з^п+1 ^ О;
границу же каждого из них составляют две сферы Sn~г, определяемые уравнением (2.6.85). Ранги групп связывающих циклов определяются равенствами:
PO = Pn-I = !» Pi = Р2 = • •' = Pn-2 = Pn = °- (2.6.86)
Действительно, всякий цикл в Mt П M2 = 5"-1 U Sn~x размерности О < г < п — 1 есть цикл на сфере и гомологичен нулю в пересечении. Связывающими же циклами являются двухточечный нульмерный цикл (по одной точке на каждой сфере) и п — 1-мерный цикл, состоящий из двух сфер Sn-1 с равными или противоположными по знаку коэффициентами.
Используя выражения (2.6.82) и (2.6.86), получаем формулу для чисел Беттирг(Р^) п-мерного тора:
Pr(Px) = О + Sr< п—I + ^r-1,0 + ^i--I1Ii-I-
Теория гомологий 85
Для всех п, кроме п = 2, эта формула дает
Р0(Р?) = Pl(PT) = Рп-і(АП) = Pn(PT) = І? ,Ofi O7N
Рг(РГ) = 0, г ф О, I, п — I, п.
В особом же случае, при п = 2, получаем знакомый результат (см. табл. 1):
Po(Pi) = MP12) = I, Pi(Pl) = 2.
Заметим, что х(Р") = О при любом п (здесь х как и раньше х — эйлерова характеристика).
Аналогичным образом могут быть вычислены группы гомологий т-мерных кренделей P^1 ( п-мерной сферы с т ручками).
Последовательное применение формул (2.6.62) («склеивание» двух торов с дыркой, кренделя P2 с дыркой с тором с дыркой и т. д.) приводит к следующему результату:
Po(Pm) = Pn(Prn) = !> Pl(Pm) = Pn-I (Pm) * ооч
Pr(Prm) = 0, Тф О, I, п - 1, п.
Исключительным снова является случай п = 2, когда п — I = 1, и соответствующие числа Бетти складываются, откуда Pi(Pm) = 2т — старый результат табл. 1.
Подчеркнем, что в отличие от двумерных кренделей п-мерные крендели не исчерпывают все замкнутые ориентируемые поверхности без самопересечений. Можно обратить также внимание на то, что в формулы (2.6.88) демонстрируют справедливость теоремы двойственности Пуанкаре для n-мерных ориентируемых многообразий.
Пример 8. M1UM2 = N1 (проективная плоскость), M1 = R%, M2 = Mf (лист Мёбиуса), M1 П M2 = S1.
В этом примере очевидно, что
P^ = 0, (2.6.89)
но не вполне тривиально, что
Pi= О (2.6.90)
86
Глава 2
так как, на первый взгляд, кажется, что пересечение М\ П M2 = S1 гомологично нулю в M2 = Mf, либо эта окружность является краем листа Мёбиуса. В действительности же границей клеточного разбиения листа Мёбиуса является сумма двух циклов, и край есть лишь одно из слагаемых этой суммы (см. формулу (2.5.26) и рис. 21, где край обозначен буквой Ъ\) и сам по себе не равен границе двумерной цепи в M2. Остальные вычисления по формуле (2.6.62) трудности не составляют. Исходя изpr(Ni), Pr(Rg), Pr(Sx) получаем числа Бетти листа Мёбиуса:
Заметим, что формула (2.6.62), как ясно из ее вывода, справедлива и для чисел Бетти по mod 2. В отличие от выражения (2.6.90), в этом случае
так как второе слагаемое в формуле (2.5.26), взятое по mod 2, равно нулю. Числа Бетти листа Мёбиуса по mod 2 получаются такими же, как обычно (формула (2.6.91)), за счет того, что при переходе к mod 2 меняется не только Р[, но и Pr(Ni) (pr(Ni) (mod 2) = 1 для всех г, см. табл. 2)
Пример 9- MiUM2 = Р[ U M2 (тор с листом Мёбиуса), M1 = Р[ — тор с дыркой, M2 = M2, Mi П M2 = S1.
Связывающие циклы такие же, как и в предыдущем примере (формулы (2.6.89), (2.6.90)). Для вычисления pr(Mx U M2) надо предварительно найти pr(Pi). Эти числа находятся в формуле (2.6.62) применительно к многообразиям:
Po(Mi U M2) — I, Pi(Mi U M2) — 2, p2(Mi U M2) = 0. (2.6.94)
Замкнутая поверхность с такими числами Бетти гомеоморфна сфере с тремя листами Мёбиуса — N3 (см. табл.1).
р0(М2) = pi(M2) = I, p2(Mi) = 0.
(2.6.91)
p'l (mod 2) = I,
(2.6.92)
Теория гомологий
87
Пример 10. Числа Бетти «п-мерного листа Мёбиуса», п-мерный лист Мёбиуса Mx определяем следующим образом:
т. е. объединение п-мерного шара Rq и Mx дает п-мерную проективную плоскость TV".
Используя формулу сложения (2.6.62) и соотношения (2.6.95), можно вычислить Pr(Mx) по числам pr(Rg), pr(Sn~1) Upr(Nx). Числа Бетти шара и сферы были вычислены нами ранее. Найдем числа Бетти pr(Nx) п-мерной проективной плоскости.
Проективное пространство п измерений — это прстранство, точками которого являются прямые евклидова п + 1-мерного пространства, проходящее через начало координат. Всякая такая прямая определяется координатами Xi,... ,хТ1+х, какой-нибудь одной своей точки, кроме начала координат, а все точки прямой имеют координаты Xxx,... ,Ажп+і, —оо<А<+оо. Совокупность чисел х=(хх,... ,xn+i) есть, таким образом, координаты точки п + 1-мерного проективного пространства, причем точки х и Xx тождественны. Мы будем обозначать координаты точки п + 1-мерного проективного пространства буквами
