Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
2. Вопрос о критических точках тесно связан с векторными полями на многообразиях. Это ясно, в частности, для потенциальных полей, являющихся градиентом некоторой функции, поскольку критическая точка функции является особой точкой векторного поля градиента этой функции (точкой «неоднозначности»), векторы в бесконечно близких точках отличаются по направлению конечным образом. Теория связывает свойства векторных полей на многообразиях с топологическими свойствами этого многообразия. В частности, она позволяет оценить число особых точек векторного поля и указать многообразия, на которых возможны поля без особенностей. Например, задать на сфере поле без особенностей, направленное в каждой точке по касательной к сфере нельзя, а на торе можно; это связано с тем, что эйлерова характеристика тора равна нулю, а сферы — двум1. Топология дает возможность указать свойства векторных и тензорных полей, аналогичные упомянутым, для более сложных многообразий более высокой размерности.
3. Оценка числа особых точек аналитической функции, имеющей в заданной области D конечное число таких точек, в зависимости от топологических свойств области D. Вряд ли нужно комментировать значимость этих результатов для физических приложений. На первый взгляд, кажется, что получить нетривиальные
1Этот результат иногда называют «теоремой о еже». Согласно этой теореме, шаровой «ёж не может быть причесан». Упомянутый результат был получен Пуанкаре, доказавшем теорему об индексах особых точек векторного поля (сумма индексов особых точек равна эйлеровой характеристике). На многомерные многообразия эта теорема была обобщена много позже X. Хопфом (1926 г.).
Введение
7
оценки, задавая одну только область D, невозможно, поскольку, например, наличие полюсов определяется динамикой, скажем, потенциалом, его глубиной и протяженностью. В действительности, однако, потенциал определяет область аналитичности — структуру римановой поверхности и для оценок снизу общего числа особенностей этого оказывается достаточным (вспомним, что для указания числа уровней достаточно знать некоторые интегральные моменты потенциала, тогда как локализация полюсов существенно зависит от деталей поведения потенциала как функции расстояния или импульсов).
Чтобы пояснить рассматриваемый вопрос, заметим, что общеизвестный факт отсутствия связанных состояний при слабом притяжении в трехмерном пространстве и, наоборот, наличие их при сколь угодно слабом притяжении в пространстве низших размерностей, есть на самом деле следствие топологических свойств многообразий. Далее, то обстоятельство, что не существует отличных от константы функций, аналитичных во всей комплексной плоскости, включая бесконечно удаленную точку, есть следствие топологической эквивалентности комплексной плоскости двумерной сфере, эйлерова характеристика которой, как упоминалось выше, положительна. В этом смысле, тот факт, что целые функции обязаны иметь особенность в бесконечно удаленной точке, имеет общий корень с теоремой о еже. Вообще, задача об особых точках аналитической функции связана с п. 2, так как задание аналитической функции означает и задание соленоидального векторного поля (действительная и мнимая части — гармонические функции) — градиента действительной части.
4. Приложения к интегрированию по многомерным областям: выяснение аналитических свойств функций, заданных многомерными интегралами, вычисление интегралов по замкнутым многообразиям (обобщение формулы Коши). С первым из этих двух направлений связано применение топологии к исследованию фейнмановских интегралов, вторая же группа задач принадлежит к числу самых давних проблем, фактически создавших топологию как математическую дисциплину.
5. Определение максимального числа линейно—независимых полей на многообразиях. Речь идет о векторных или, вообще, о тензорных полях, хотя не для всех полей и многообразий эта
8
Глава I
задача решена. Поясним проблему. Для евклидова пространства п-измерений задача тривиальна, однако для многообразия той же размерности, но с топологической структурой, отличной от евклидова пространства, проблема весьма не тривиальна, если не считать поле вложенным в евклидово пространство большого числа измерений, т. е. требовать, чтобы вектор поля в любой точке был касательным к многообразию, а не «торчал, высовываясь в пространство большего числа измерений». Приведем для иллюстрации некоторые результаты о числе линейно-независимых векторных полей на сферах. Во-первых, оказывается, что максимально возможное число линейно-независимых полей совпадает с размерностью сферы только в трех случаях п = 1, 3, 7 (п — 1 — окружность). Во-вторых, для произвольного п ответ такой. Записываем число п в виде:
п = (2а + 1) • 24Ь+с - 1.
Тогда число т(п) линейно-независимых полей на сфере размерности п определяется равенством:
т(п) = 2е + Sb - 1. (1.1.2)
В частности, из этой формулы следует, что в соответствии с теоремой о еже на двумерной сфере вообще нельзя задать непрерывного векторного поля —m(z) = 0.
