Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
1.3. Многообразия (более общая формулировка)
В этом параграфе приводятся некоторые формальные теоретикомножественные определения. Читатель-физик, столкнувшись с определением топологического многообразия в математических монографиях, может не узнать в аксиоматических определениях формулы предыдущего параграфа. Для понимания текста лекций вполне достаточно мыслить топологические многообразия как множества, которые локально устроены как евклидовы пространства и склеены с надлежащей степенью гладкости.
14
Глава I
1. Множества. Основные обозначения.
Запись х Є M означает, что х является элементом множества М, а жЄМ означает, что х не принадлежит множеству М. Mi С M2 — означает, что множество Mi содержится в M2 или совпадает с ним. Пустое множество обозначается 0. Множество элементов х, обладающих свойством Р, обозначается {х | Р}.
Обычным образом определяется объединение С двух множеств А и В (рис. 1) и пересечение (рис. 2).
AB AB
Рис. 1. Объединение множеств. Рис. 2. Пересечение множеств.
AB AB
Рис. 3. Разность множеств. Рис. 4. Симметрическая разность
множеств.
Можно рассмотреть объединение и пересечение для произвольного множества индексов I:
U Aa f| Aa (1.3.1)
Or ЄI OcSl
Кроме того, полезно определить разность А\В множества А и В, т. е. множество:
С = А \ В = {х I х Є А, хЄВ}, (1.3.2)
и симметричную разность
С = AAB = {х I х Є A U В, х(ЁА П В].
Легко видеть, что AAB = (А \ В) U (В \ А).
Введение
15
2. Топологические пространства.
Мы определим так называемые хаусдорфовы пространства с помощью системы окрестностей. Множество M называется хаусдорфовым топологическим пространством, если в нем выделены подмножества, называемые окрестностями, удовлетворяющие следующей системе аксиом:
Аксиома 1. Каждая точка х Є M имеет по крайней мере одну окрестность Ux и содержится в каждой из своих окрестностей.
Аксиома 2. Если и — две окрестности х, то существует окрестность:
Аксиома 3. Если у Є Ux, то существует окрестность Uy такая, что
Аксиома 4. Хаусдорфова аксиома отделимости: для двух точек а'фу всегда найдутся две непересекающиеся окрестности UxHUy = 0.
Легко доказать, что в евклидовом пространстве Rn множество шаров {х I (j/i — .Ti)2 +... + (уп — х„)2 < г2} удовлетворяют всем четырем аксиомам и определяют в нем обычную топологию.
Точка х Є M называется предельной, если всякая ее окрестность содержит по крайней мере одну точку из М, с ней не совпадающую.
Подмножество Mj топологического пространства M называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Подмножество M2 дополнительное в M к замкнутому подмножеству Mi (M2 = M \ Mi) определяется как открытое.
Топологическое пространство называется связным, если его нельзя представить как объединение двух замкнутых, непересекающихся подмножеств.
Отображение / топологического пространства M в топологическое пространство N называется непрерывным в точке х, если для всякой окрестности Uf(X) С N существует окрестность Vx С М, такая, что f(V) С Uf(x)- Отображение MbN будет непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х Є М.
U^ С U™ П Ui2I
(1.3.3)
Uy С Ux.
(1.3.4)
16
Глава I
Два топологических пространства MnN называются гомеоморф-ными или топологически эквивалентными, если существует взаимнооднозначное соответствие и взаимнонепрерывное отображение /: M-+N.
Топология изучает свойства множеств с точностью до гомеоморфизма. Например, сфера S и куб топологически эквивалентны. Можно увидеть, что топологически эквивалентны сфера S2 и риманова поверхность функции Z2, круговое кольцо и цилиндр.
3. Многообразия.
Хаусдорфово топологическое пространство называется многообразием, если для всякой ТОЧКИ X Є M существует окрестность, гомео-морфная шару в евклидовом пространстве Rn. Гомеоморфность окрестности шару означает, что топологическое многообразие устроено локально так же, как евклидово пространство и поэтому, в частности, имеет определенную размерность.
Окрестность U вместе с указанным гомеоморфизмом называется картой множества U. Если х є U, то <р(х) Є Rn — локальные координаты точки х.
Если накладываются условия гладкости на многообразие, то необходимо, чтобы любые две карты (U, <р) и (V", ф), для которых UtlV ф 0, были надлежащим образом склеены. Многообразие будет принадлежать классу Cco или будет аналитическим, если отображения из Rn' в Rn-. tpoФ~г и фор-1 будут бесконечно дифференцируемы или анали-тичны (рис. 5).
В этих же терминах определяется многообразие с краем. Это многообразие М, у которого существуют такие точки ж, что в локальных координатах карты (U, ф) <р(х) = 0 и ip(U П М) имеет вид полупространства в Rn: Xi ^ 0.
Можно показать, что многообразия, определенные в предыдущем параграфе системой уравнений и неравенств в Rn, являются многообразиями в инвариантной формулировке.
Приведем примеры.
Пример 1. Окружность S1: X2 + Jff = 1. Четыре полукружности U*={xeS{ I 2Tj>0}, U^=IxeS1 І Жі<0} являются картами, покрывающими S1. В качестве локальных координат на Ufi берется проекция на ось Xj Легко видеть, что это аналитическое многообразие. Эта
