Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
6. Убедиться в существовании решений и оценить число независимых решений некоторого уравнения. Имеющиеся здесь результаты относятся в основном к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, однако они эвристически полезны для исследования уравнений в частных производных.
Пункты 1-3 этого перечня опираются главным образом на ту главу алгебраической топологии, которая получила название теории гомологий. Многие результаты, приведенные здесь (пп. 1,3), составляют содержание теории М. Морса, в которой важную роль играют топологические «квантовые числа» — числа Бетти. Пункты 4-6 требуют использования теории гомотопий и теории расслоений (особенно это относится к пп. 5,6).
Приведенные примеры заведомо не исчерпывают известных и тем более потенциальных возможных применений топологических методов
Введение
9
к решению математических задач, которые могут интересовать физиков. Хотелось подчеркнуть в связи с этим следующее.
Всякая методика, позволяющая исследовать свойства решений физических уравнений, не решая этих уравнений, выявляет нечто, заложенное уже в самой формулировке математического аппарата физической теории, и, следовательно, не зависящее от деталей динамики. До тех пор пока это «нечто» не выявлено, его следствия могут ошибочно относиться к специфике тех или иных взаимодействий решаемых физических моделей или разного рода приближений. Надо иметь в виду также, что математика для физики является не только и даже не столько вычислительным средством, но и тем каркасом, без которого физические закономерности вообще не могут быть сформулированы. В частности, невозможно дать определения физических величин, не опираясь на соответствующие математические понятия. Например, нельзя точно определить понятие спин без теории представлений. То же относится к квантовым числам динамических симметрий (изоспин и др.). Изложенное дает основание ожидать от разработки не замеченных ранее глубоких феноменологических пластов теории интересных физических результатов.
Если говорить о физике частиц, то к привлечению топологических методов побуждает, по мнению авторов, обилие нестабильных частиц. Всякая серьезная попытка понять это многообразие приводит пока либо к многоканальным задачам типа уравнений связанных каналов, либо к поискам пространственно локализованных решений (солитонов) уравнений в частных производных. Связь этих проблем с упоминавшимися выше приложениями топологических методов довольно ясна. Необходимость же обогащения традиционного аппарата физической теории новыми методами ощущается по меньшей мере по следующим трем причинам.
Во-первых, решение многоканальных задач на собственные значения выглядит настолько сложным даже в простейших моделях, что уверенное отделение общих закономерностей от модельно-зависящих результатов в рамках обычной методики оказывается чрезвычайно трудным, если не невозможным. Между тем по численным результатам решения некоторых модельных задач чувствуется, что в количестве уровней, их положении и движении в зависимости от исходных па-
10
Глава I
раметров (констант взаимодействия, их радиусов, масс структурных компонентов) имеются определенные общие закономерности. Грубо говоря, если при каких-то значениях исходных параметров в S'-матрице имеется полюс, то изменением параметров от него не так легко избавиться — удаление одних полюсов от физической области, компенсируется «приходом» других с разных листов римановой поверхности и т. п. Физическая «непрозрачность» подобного рода результатов несомненно связана с усложнением римановой поверхности для S'-матрицы и наводит на мысль о необходимости использования более компактной математической методики, органически адекватной природе рассматриваемой задачи.
Во-вторых, современной физике частиц явно не хватает квантовых чисел. Использование знакомого источника — введения групп динамических симметрий и применения теории представлений этих групп — «обогащает» физику таким количеством исходных «сущностей» (кварки) с «цветом», «запахом», «очарованием», «красотой» и т. п.), что оно становится сравнимым с количеством объектов, подлежащих объяснению.
В-третьих, желание иметь «асимптотически свободную» перенормируемую теорию, не содержащую трудностей типа «нуля заряда», побуждает вводить векторные неабелевы калибровочные поля, а это означает обязательность рассмотрения векторных полей на многообразиях. К этой же необходимости, впрочем, приводит упомянутая выше проблема поиска солитонных решений для классических полей со спином.
Настоящий курс ставит своей целью описание и разъяснение некоторых основных понятий, методов и результатов алгебраической топологии. Доказательств, как правило, нет: справедливость тех или иных теорем демонстрируется на примерах. Определения не претендуют на строгость; они сформулированы так, чтобы по возможности более отчетливо выступала сущность — «физический смысл» того или иного понятия. Одним словом, это лекции физика для физиков. К лекциям приложен список учебной литературы: он отнюдь не полон, а содержащиеся в нем книги, может быть, и не лучшие. Монографий по алгебраической топологии много, но большей частью для физиков они остаются за семью печатями главным образом из-за дедуктивного способа изложения, терминологии и непривычной символики.
