Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
которое осуществляет поле А(х) в окрестности особой точки х°. Каждой точке у Є Sn-1(A) отвечает, вообще говоря, несколько точек х є Sn-1 (dx). Степень отображения в точке х — это число, равное +1 или —1, в зависимости от того, одинаково или противоположно ориентированы окрестности сфер Sn~1(dx) и Sn-1 (А) в точках х и у. Сумма степеней во всех точках х прообраза точки у называется степенью
110
Глава З
отображения. Казалось бы, что эта величина зависит от выбора точки у Є Sn-1 (А). Однако существует теорема, согласно которой эта величина одна и та же почти для всех точек у. Степень отображения — это многомерное обобщение числа оборотов при отображении S1 в S1.
Индекс особой точки векторного поля А(х) (вырожденной или невырожденной) есть по определению степень отображения S71*1 (dx) в 5П_1(А). Интуитивно ясно, что при таком определении индекс особой точки не зависит от выбора радиуса є сферы Sn~1(dx). Если точка X0 невырожденная, то данное определение, как легко понять, совпадает с предыдущим.
Отметим также, что степень отображения определяется для произвольного гладкого отображения Sn-1 в Sn-1 и, вообще, для гладких отображений компактных многообразий.
Сумма индексов векторного поля, заданного на многообразии без края, не зависит от конкретного вида поля. Поясним это в двумерном случае. Для этого заметим, во-первых, что при обходе по замкнутому контуру, охватывающему все особые точки поля, поворот вектора будет определяться суммой индексов поля. Последнее очевидно для контура Ci на рис. 37. При деформации же этого контура в контур C2 результат не изменится. Представим, что имеется два линейно независимых вектора поля Aj (х) и Bj(x) и что контур C2 охватывает все особые точки обоих полей. Предположим также, что контур C2 такой, что Aj(х) ф XBj(x) ни в одной из точек этого контура. Если суммы индексов полей Aj(х) и Bj(x) различаются, то при обходе по контуру C2 один из векторов будет поворачиваться медленнее другого и поэтому в некоторой точке вектора Aj(ж) и Bj(x) должны быть коллинеарны, что противоречит исходному предположению.
Таким образом, будем считать доказанным следующий факт: сумма индексов векторного поля не зависит от выбора векторного поля. Исходя из этого, мы докажем, что она является топологическим инвариантом. Для вычисления воспользуемся индексами поля градиента df/dxi, і = 1, ... , п дважды дифференцируемой функции. Особыми точками этого поля будут критические точки функции f(xі, ... , хп).
Будем, как и раньше, считать все критические точки функции не-
Теория Морса и ассоциированные вопросы
111
Рис. 37. Обход по контурам Ci Рис. 38. Вектор-потенциал поля
вектора поля (а, b — особые точки поля, между Ci и Сг особых точек нет).
вырожденными. Тогда индекс n(q) градиента df /дхі критической точке q типа к будет равен
Это непосредственно следует из того, что знак del {д2 f /dxidxj} в критической точке типа к равен (—1)*. Таким образом,
Здесь Ш). — число критических точек типа к, а сумма по q распространяется на все критические точки q. Однако, согласно равенству Морса (формула (3.3.6)), альтернативная сумма числа критических точек в правой части формулы (3.4.5) равна эйлеровой характеристике многообразия. Сравнение формул (3.4.5) и (3.3.6) доказывает теорему Пуанкаре-Хопфа (сумма индексов векторного поля на многообразии равна эйлеровой характеристике этого многообразия):
и Ci дает один и тот же поворот монополя Дирака.
пк = (-1)*.
(3.4.4)
Tl
(3.4.5)
X =
Я
(3.4.6)
112
Глава S
Следствием этой теоремы является тот факт, что векторное поле без особенностей может существовать только на многообразии, эйлерова характеристика которого равна нулю. Поскольку эйлерова характеристика всякой четномерной сферы равна двум, то на такой поверхности векторного поля без особенностей задать нельзя. Это относится, в частности, и к двумерной сфере (теорема о невозможности «причесать ежа»). Хорошим примером проявления этой теоремы может служить вектор-потенциал А поля дираковского монополя. Напряженность магнитного поля H монополя с магнитным зарядом g определяется равенством:
H =/U, ?=%. (3.4.7)
Так как
H = rot .АЦг, (3.4.8)
то в каждой точке вектор-потенциал А должен лежать в касательной плоскости к сфере, т. е. А должен быть двумерным векторным полем на сфере S2 и потому должен иметь особенности по угловым переменным при любом г. Иными словами вектор-потенциал А поля монополя будет иметь особенности в каждой точке некоторой линии в трехмерном пространстве. Нетрудно догадаться, что этой линией должна быть полярная ось, а особые точки должны находиться в полюсах сферы, где координатная сетка (мередианы и параллели) имееет особенности. Действительно возможное решение для А имеет вид:
Ar = Aq = 0; Av = ? tg f. (3.4.9)
г 1
Здесь Ar, Aq, Atp — компоненты А в сферической системе координат. Особыми точками поля А являются точки © = 0,7г, причем индексы поля А в каждой из этих точек п(0) = п(ж) ~ 1 (см. рис. 38), так что сумма индексов равна двум, как это и должно быть для S2 согласно формуле (3.4.6). Из теоремы Пуанкаре-Хопфа в данном случае следует, что никаким изменением калибровки потенциала эти особенности вектор-потенциала поля монополя устранить нельзя.
