Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
3. Если |із) — трехмерная клетка, то воспользуемся теоремой Гаусса
j) Bda= J Bd3x. (2.7.13)
Л|#з> |#з>
Так же, как и в предыдущем примере, сравнивая формулы (2.7.13)
и (2.7.6), получим, что S может интерпретироваться как оператор, пе-
реводящий два-формы Bda в три-формы div В d?x.
Теория гомологий 95
Все используемые в этих примерах формулы (Ньютона-Лейбница, Стокса и Гаусса) символически записываются в виде (2.7.6). Эта формула, разумеется, верна для цепей и коцепей произвольной размерности и носит названия формулы Стокса. Менее формальная по сравнению с выражением (2.7.6) запись имеет вид:
J (ZP-1I = J (F-1IS. (2.7.14)
AM IM
Здесь мы подразумеваем, что коцепи реализованы в виде дифференциальных форм.
Важным свойством оператора S является то, что квадрат его равен нулю
S2 = 0. (2.7.15)
В самом деле, согласно определению (2.7.6), (52=(Д+)2=(Д2)+. Ho Д2=0 (см. свойство (2.1.6)). Конкретная реализация формулы (2.7.15) в частных случаях (см. формулы (2.7.11) (2.7.12) и (2.7.13) дает хорошо известные в курсе анализа формулы:
^ZZo. (2-7-1б>
Теперь, имея в своем распоряжении комплекс, состоящий из групп коцепей Lp и оператора кограницы 6 (S2 = 0), мы можем построить группы когомологий.
Определим в группе коцепей Lp подгруппу коциклов Cp как ядро оператора ё:
Cp = Ker (5 = {(ZpІ Є Lp (Zp|<5 = О} . (2.7.17)
Подгруппа кограниц Bp определяется как образ оператора 6:
Bp = Im<5 {(ZpІ Є Lp (Zp| = (Ip-1 |й}. (2.7.18)
Всякая кограница есть коцикл: если (ЬР\ЄВР, то (&Р|6=(ЬЇ>—1 |й2=0. Поэтому BpCCp и мы можем рассмотреть фактор-группу Hp=Cp/Bp. Эта
96
Глава 2
фактор-группа и есть группа когомологий порядка р. Ее элементами являются классы смежности:
Hp = {(CpI + Bp I (CpI Є CpJ . (2.7.19)
Два коцикла (с^| и (c^l определяют один класс или один элемент
группы Hp, если ((Cp1)I - (Cp2jI) Є Bp.
В этом случае говорят, что эти два коцикла когомологичны.
На языке дифференциальных форм коциклы это формы, которые оператором S переводятся в ноль. Такие формы называются замкнутыми. Локально каждую замкнутую форму можно представить в виде (Zp| = (/р-1|<5. На языке форм низших порядков мы можем это условие записать в следующем виде (см. формулы (2.7.11), (2.7.12) и (2.7.13)):
1) Если rot — 0, то A = V/ ^ (27 .
2) Если div B = O, то В = rot А.
Если M — обычное евклидово пространство IR3, то условия (2.7.20), как известно из курса анализа, выполняются всегда и определяют безвихревое или соленоидальное поле.
В общем случае не всякую замкнутую форму (Ip) ((IpIS = 0) можно представить в виде (Zp-11(5.
Пример. M = S1 — окружность. Пусть (р — угловой параметр.
Тогда dip — замкнутая один-форма (два-форма на S1 отсутствует). Однако dtp не определяет глобально один-форму, так как в окрестности точки (р = 0 функция, сопоставляющая каждой точке параметр <р, не является непрерывной.
Формы (Zp |, которые допускают представление:
(Zp| = (Ip-1IS, (2.7.21)
называются точными. Именно они являются кограницами. Поэтому, для того чтобы построить группу когомологий Hp(M), надо найти все линейно независимые замкнутые формы порядка р, которые не являются точными. Определение групп когомологий с помощью дифференциальных форм составляет содержание теоремы де Рама.
Теория гомологий
97
Теперь мы установим связь между группами гомологий Hp(M) многообразия M и группами когомологий Hp(M). Из формулы (2.7.6) следует, что
Иными словами, число (1\Ь) обращается в ноль, если {1\ — кограница и |Ь) — цикл, или 11) — коцикл и IЬ) — граница. Отсюда следует, что (1\Ь) зависит только от класса гомологий цикла |6) и класса когомологий коцикла (1\. Это позволяет установить изоморфизм между группами Hp(M) и Hp(M). Отметим сразу же, что если группа гомологий содержит периодическую подгруппу, то при при переходе к когомологиям она утрачивается, т. е. соответствие устанавливается по модулю кручения. В самом деле, если группа гомологий имеет Hp(M) кручение, то существует цикл |Ь) негомологичный нулю, HO его некоторое кратное гомологично нулю А\пЬ) = 0. Например, если M — проективная плоскость (рис. 14), то это цикл Ь. Тогда если {/| кограница, то число (1\Ь) = 0, хотя Д|Ь) Ф 0- Когомологии имеют важное значение в нелинейных теориях поля. Коциклы, представленные в виде замкнутых дифференциальных форм, играют роль сохраняющихся токов, а интегралы от этих форм есть инвариантные топологические заряды.
Аппарат когомологий важен потому, что он дает возможность определить те особенности скалярных, векторных и других полей на многообразиях, которые зависят от топологических свойств самих многообразий, а не от конкретного вида рассматриваемых полей, определяемого теми или иными уровнями.
Ясно, что для групп когомологий можно развить тот же аппарат, что и для групп обычных гомологий (рассмотреть относительные когомологии, определить гомоморфизмы включения, проектирования, KO-граничный гомоморфизм, установить цепочки точных последовательностей и т. п.). К этим конкретным техническим вопросам так же, как и к различным реализациям коцепей и когомологий, мы будем обращаться по мере надобности в связи с рассмотренными предложениями. В заключении этого раздела заметим, что аппарат когомологий был предложен в 1934-1935 гг. в работах нескольких математиков — Александера, Колмогорова, Уитни и Чеха.
