Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
р2(М’®М") = П Pi(M')Pj(M").
i+j=r
Так как Pj(Rg) = 0 и Po(RS) = 1 (см. равенство (2.6.74)), a Pj(Ri) = PjiSk-1) (см. выражение (2.6.82)), то
Г
P2(RkQRrk) = П pAS^Pr-iW) =PASk-1). i=0
Поскольку Ur = Rq (n-мерный шар), согласно теореме сложения (2.6.62) имеем
Apr = PARS) - PASk-1) +P1r +?;_!• (3.2.3)
Теория Морса и ассоциированные вопросы 103
Здесь
Apr = Рг(/ <-/с + 8) -pr(f < Jc-S)
и Pt, Pt-і — ранги групп связывающих циклов. В данном случае связывающим циклом может быть только само пересечение Mi П M2, на котором существует единственный негомологичный нулю цикл — сфера Sk-1.
Для г ф к, к — 1 формула (3.2.3) дает
' Дрг = 0; г ф к, к — 1. (3.2.4)
Это получается прямой подставкой чисел Pr(R0) и PriSk-1), определяемых равенствами (2.6.74) и (2.6.80) с учетом того обстоятельства, что п > к — 1 и поэтому pJl(Sk~1) = 0. Кроме того, поскольку связывающим циклом может быть только сфера Sk-1, следует иметь в виду, что р'г = 0 при г Ф к — 1 и р'т_j = 0 при г ф к.
Таким образом, при прохождении критической точки типа к изменение могут испытывать только числа Бетти области меньших значений рк ир/і_і. Каждое из этих чисел меняется, зависит от того, является ли Sfc-1 связывающим циклом или нет.
Допустим, что Sk^1 есть связывающий цикл. Тогда pj._x = 1, Pk(Sk~1) = р^ = 0 и мы получаем
Apk = 1, (3.2.5)
т. е. при прохождении критической точки А;-мерное число Бетти Pfc
возрастает на единицу. Для г = к — 1 имеем
pfc_! (Sk-1) =P^1 = I; Apk—і —- 0. (3.2.6)
Иными словами, если Sfc-1 — связывающий цикл, то рк возрастает на
единицу, а остальные числа не меняются.
Примем теперь, что Sk_1 не является связывающим циклом. Тогда
Pr = Pr-! = о
при всех г, и мы находим
Apk = 0. (3.2.7)
104
Глава З
Для г = к — 1 все числа в правой части равенства (3.2.3) равны нулю, за исключением рл-і(5Л_1) = 1. Поэтому
Apk-I = -1. (3.2.8)
Мы приходим к выводу, что если Sk-1 не является связывающим циклом, то pk-i убывает на единицу, а остальные числа рТ не меняются. Заметим, что при выводе формул (3.2.4)-(3.2.8) неявно предполагалось, что к ф 0, 1 (при к = 0 нет сферы Sfc-1, при к = I po(S°) = 2, а не единице, как это имеет место в общем случае для PkiiSk-1))-
При к = 0 все члены в правой части равенства (3.2.3), кроме первого слагаемого, равны нулю.
Так как
роіЩ) = I; PriK) = 0; г > 0,
то
Ap0 = 1; (3.2.9)
остальные числа Бетти не изменяются.
В случае к = 1 имеем
PoW) = 1; Po(S°) =2; р'г = ргіЩ) = Р.(5°) = 0; г > 0. Поэтому при Po = 1 получаем
Др0 = 0; (3.2.10)
все остальные Дрг = 0. Если же Po = 0, то
Ap0 = I; Apr = 0; г > 0. (3.2.11)
Резюмируя изложенное, мы можем сказать, что всегда при прохождении критической точки типа к справедлива либо формула (3.2.5), либо (3.2.8). Критические точки, для которых справедлива формула (3.2.5) называются возрастающими типа к; точки же, удовлетворяющие формуле (3.2.8) именуются убывающими типа к.
Теория Морса и ассоциированные вопросы
105
3.3. Неравенства Морса
Результаты предыдущего параграфа мы используем ниже для оценки числа критических точек функции, заданной на многообразии. С этой целью рассмотрим область меньших значений (/ < А), изменяя А от наименьшего значения А<, принимаемого функцией / на многообразии, до наибольшего А>. Ясно, что область (/ < А<) — пустое множество; область же (/ < А>) охватывает все многообразие, на котором задана функция /. По мере изменения А числа Бетти области (/ < А) будет меняться при прохождении каждой критической точки в соответствии с полученными выше результатами: каждая критическая точка возрастающего типа к будет увеличивать на единицу число Бетти рк, каждая критическая точка убывающего типа к будет уменьшать на единицу число Бетти pk-i • Обозначим через т~? и т* числа критических точек соответственно возрастающего и убывающего типа к. Общее число критических точек типа к будет равно
тк = гп? + тк > (3.3.1)
Заметим, что в случае к = 0 точек убывающего типа 0 нет (т0 = 0),
поэтому
то = trio (3.3.2)
Основываясь на изложенном, мы можем написать для fc-мерных чисел Бетти Pk следующее равенства:
Pk = - т*+1; к = 0, 1, ... ,п-1; (3.3.3)
рп-т+. (3.3.4)
Здесь п — размерность многообразия; поэтому критических точек убывающего типа п + 1 нет: пг~+1 = 0. Формулы (3.3.3) и (3.3.4) дают возможность получить неравенства, оценивающие снизу числа критических точек.
Прежде всего, складывая равенства (3.3.3) и (3.3.4), получаем оценку снизу на общее число критических точек всех типов кг
106
Глава З
Далее, составляя альтернированные суммы
к
?(-і)грг,
г=0
получаем неравенство Морса:
Po ^ Tfi0;
Po-Pi ^m0- Tn1;
Po — Pi + Pi ^ гпо — Tnl + т,2', (3.3.6)
X = =
Jz=O fc=0
Заметим, что формулы (3.3.5) и (3.3.6) справедливы кар для обычных чисел Бетти, так и для чисел Бетти (mod 2), поскольку использованная при выводе неравенств Морса теорема сложения чисел Бетти (формула (2.6.62)) справедлива в обоих случаях. Для ориентируемых многообразий р = pk (mod 2), но для неориентируемых многообразий эти числа различаются и в формулы (3.3.5) и (3.3.6) для получения более сильных оценок выгодно подставлять р* (mod 2). Например, для двумерной
