Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Шапиро И.С. -> "Лекции по топологии для физиков" -> 36

Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.

Шапиро И.С., Ольшанецкий М.А. Лекции по топологии для физиков — Москва, 2001. — 126 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipotopologii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 >> Следующая


m = g+\. (3.7.22)

Из формул (3.7.20) и (3.7.21) следует также, что при ^=1иш/0,

m = l^ 2. (3.7.23)

Это значает, что отличная от константы (I ^ 2) мероморфная на торе функция должна иметь по меньшей мере два полюса или один двукратный, тогда как минимальное значение тп для сферы равно единице. В более общем случае g ^ 1 из формулы Римана-Роха следует неравенство Киллинга:

тп > 21 - 2, g > 1. (3.7.24)

3.8. Топологические аспекты многоканальной задачи

Нас будут интересовать топологические свойства римановой поверхности многоканальной S-матрицы. Мы будем предполагать, что все
Теория Морса и ассоциированные вопросы 123

каналы двухчастичные и, следовательно, все пороговые точки ветвления корневые (Z9 = 2). Далее примем, что частицы в каждом из каналов нерелятивистские, имеют равные массы и равные нулю спины (последнее условие введено из желания избежать мешающих выявлению существа дела алгебраических усложнений). Наконец, мы будем считать, что число открытых каналов при любой сколь угодно большой энергии начального состояния конечно и не превышает N. Массу наиболее тяжелой частицы обозначим через mi. Подразумевается, что вырождения нет (разные частицы имеют разные массы). Таким образом,

ms < mi, s = 2, 3, ... , N. (3.8.1)

При указанных выше ограничениях закон сохранения энергии дает

п? Pi-

2пн + ^= 2тj + —, г, j = 1,2, ... , N. (3.8.2)

т%

Здесь pi, Pj — импульсы в с. ц. и. Для дальнейшего удобно ввести переменные:

h = -^L:, і = 1, ... , N. (3.8.3)

х/пи

Тогда из выражения (3.8.2) имеем

K = ^Q2S+ kl, Q2s = 2(гпі - ms) > 0, в = 2, 3, ... , N. (3.8.4)

Рассмотрим парциальную волну с определенным угловым моментом. 5-матрица в этом случае будет матрицей NxN, зависящей от переменных ki, а фактически — от одной переменной ki, как это видно из

выражения (3.8.4). Заметим, что из унитарности и Т-инвариантности 5-матрицы следует соотношение

S*(K, ... ,kN) = S(-kl, ... , -k*N). (3.8.5)

При подходящем выборе разрезов в комплексной плоскости ki можно получить1

ks{~kl) = -k;(ki). (3.8.6)

1MbI придем к этому соотношению, проведя в плоскости разрезы по мнимой оси

от точек iQa до точек —iQ.
124

Глава З

Тогда равенство (3.8.5) сведется по существу к условию симметрии одноканальной задачи:

S*(*i) = S(-k{). (3.8.7)

Итак, матричные элементы 5-матрицы являются в рассматриваемом случае аналитическими функциями переменной кг, имеющими N — 1 пар корневых точек ветвления с порядками ветвления Iq = 2. Поскольку каждая переменная кв(кх), как функция от к\, двузначна, число листов п римановой поверхности, происходящих от пороговых ветвлений, будет, очевидно, таким:

п = 2n~x. (3.8.8)

Если вместо переменной ki рассматривать энергию E1 — к2, то добавится еще одно ветвление второго порядка и число листов S'-матрицы как функции переменной Ei увеличится

E1--Ti = 2n. (3.8.9)

Помимо унитарных разрезов, о которых шла речь выше, S-матрица испытывает скачки еще на так называемых динамических разрезах, обусловленных взаимодействием. Динамические разрезы не будут здесь интересовать нас: они могут трактоваться либо как дырки в римановой поверхности, возникшей за счет пороговых ветвлений, либо вообще в определенном («сепарабельном») приближении могут быть заменены полюсами (в этом случае S-матрица будет мероморфна на «пороговой» римановой поверхности).

С помощью формулы Римана-Гурвица (3.6.6) определим род римановой поверхности S-матрицы /V-канальной задачи. Согласно сказанному выше в этом случае для всех точек ветвления по переменной имеем

It1Zlq- 1 = 1, nq = I = 2n~2; (3.8.10)

общее же число точек ветвления равно 2(N — 2). Таким образом,

кі: ? nq(lq - I) = (JV - 1)2"-1

Q

(3.8.11)
Теория Морса и ассоциированные вопросы 125

и для эйлеровой характеристики римановой поверхности х(Мм), полагая x(Mz) = x(S2) - 2, получаем

к!: X(Mn) = 2N~X2 -(N- 1)2*-1 = 2*^(3 - N). (3.8.12)

Так как род g(Mм) (число ручек) поверхности Mn связан с x(Mn) соотношением:

g(MN) = I - (3.8.13)

то, подставив выражение (3.8.12) в формулу (3.8.13), найдем

g(MN) = 2n~2(N -3) + 1, N Z I. (3.8.14)

Из этой формулы следует

g-(Mi) = g(M2) = О, M1 ~ M2 ~ S2, (3.8.15)

т. е. что римановы поверхности одноканальной и двухканальной 5-матриц топологически эквивалентны друг другу и гомеоморфны сфере S2. Многоканальность сказывается на топологических свойствах Mn, начиная с N = 3. Для N = Z формула (3.8.14) дает

g(M3) = I, M3 = P1. (3.8.16)

Таким образом, M3 гомеоморфна тору. Как может проявиться различие сферы и тора в свойствах 5-матрицы, обсудим ниже. Предварительно же найдем род римановой поверхности переменной E1. В этом случае имеем

E1Aq-I = I, Пд = I = 2й-1. (3.8.17)

Общее число точек ветвления равно Afr-J-I, так как, кроме TV-порогов, точкой ветвления является еще и бесконечно удаленная точка. Отсюда следует

E1: Mig-I) = (JV+ 1)2*-1 (3.8.18)
126

Глава З

(3.8.19)

т. е. ту же формулу, что и для римановой поверхности по переменной кі, хотя числа листов и точек ветвления в обоих случаях неодинаковы. Уже это обстоятельство указывает на то, что топологические инварианты римановой поверхности улавливают нечто относящееся к физическому существу многоканального процесса, а не к способу его описания в отличие от конкретной многолистной реализации римановой поверхности, выглядящей совершенно различно для различных переменных.
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed