Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение отметим, что существуют последовательности Майера-Въеториса для групп относительных гомологий:
НГ(М, M1 П M2) А НАМ, M1) ф ЯГ(М, M2) A A Hr(M, M1 U M2) A Hr-AM, M1 U M2) -А .
Этой последовательности отвечает формула сложения относительных чисел Бетти, аналогичная формуле (2.6.62).
В формуле (2.6.110) M ф M1 U M2. Многообразие M1 U M2 С М, т. е. является подмногообразием многообразия М. Формула (2.6.110) дает возможность, в частности, вычислять группы относительных гомологий для многообразий с краем, когда структура последнего сложна и край состоит из подмногообразий M1 и M2.
Как уже указывалось, последовательностями Майера-Вьеториса не исчерпываются точные последовательности групп гомологий, которые в конкретных случаях могут оказаться полезными для вычисления этих групп. Содержательный материал по этому вопросу имеется в книге Дольда [13].
2.7. Когомологии
Мы дадим здесь понятие о когомологиях, рассматривая этот аппарат в той мере, в какой он связан с аппаратом гомологий, и, разумеется, поясняя его существенное содержание («физический смысл», как мы бы сказали, если бы речь шла о физической теории).
Ранее уже подчеркивалась аналогия между группами цепей и векторными пространствами. Развивая эту аналогию, мы можем ввести «пространство» коцепей Lp, сопряженное «пространству» цепей Lp. Для этого временно (в настоящем разделе) воспользуемся обозначениями Дирака. Будем рассматривать элемент группы цепей Lp как кет-вектор IЪр) € Lp. Сопряженные бра-векторы образуют так называемые коцепи.
92
Глава 2
Формально каждый бра-вектор (коцепь) (Ip| определяется линейным отображением группы цепей в группу коэффициентов G (множество целых чисел Z, действительных чисел M или комплексных С):
(Р\Ър) = а(|Ьр» € G. (2.7.1)
В силу линейности отображения имеем
(ip I ?/??°) = Е&<р1*?°>- (2-7.2)
(«) (*)
Поэтому отображение достаточно определить на отдельных клетках данной размерности р, составляющих разбиение многообразия.
Множество коцепей образует группу коцепей Lp = {(/р|} порядка р. Таким образом, группа коцепей — это множество гомоморфизмов группы Lp в группу коэффициентов G.
Поясним сказанное на примере трехмерного многообразия М.
1. Как известно, нульмерные клетки |ао) — это просто точки многообразия M: |ао) = х € М. Каждой нульмерной клетке х поставим в соответствие число (см.выражение (2.7.1)) (10 | ао) = f{x). Таким образом, нульмерная коцепь (1° \ — это функция на многообразии М.
2. Пусть Ib1)— одномерная клетка, т. е. некоторая кривая в M и А — векторное поле на М. Рассмотрим криволинейный интеграл вдоль клетки:
I Ads. (2.7.3)
Ibi)
Каждая дифференциальная форма Ads ставит в соответствие цепи Ib1) интеграл (2.7.3), который есть просто число. Таким образом, .Ads можно отождествить с некоторой коцепью (Z1I- Формула (2.7.1) представляется в следующем виде:
(Iі I Ьг) = f Ads. \bi)
(2.7.4)
Теория гомологий 93
3. Пусть В — снова векторное поле на М, da — элемент поверхности, направленный по нормали к ней. Всякой двумерной цепи мы ставим в соответствие интеграл:
(I2Ib2)= f Bda. (2.7.5)
1?)
В этом случае коцепи (/2| отвечает дифферинциальная форма второго порядка (два-форма) В da.
4. Аналогично произвольной трехмерной цепи |6з) поставим в соответствие интеграл:
{I3 I Ь3) = f ф(х) d3х.
1Ы
Три-форма ip(x)d3x определяет коцепь (Z31.
Приведенные примеры показывают, что кет-векторы (цепи) и бра-векторы (коцепи) принадлежат пространствам совершенно различной природы: в первом случае мы имеем геометрические объекты на многообразии, а во втором — дифференциальные формы.
Напомним, что при построении теории гомологий мы ввели граничный оператор Д. Теперь нам понадобится пограничный оператор 6, сопряженный оператору Д:
(2|Д|Ь) = (Ь\6\1)*; 6 = Д+. (2.7.6)
Отметим, что Д действует на кет-векторы слева (цепи) |Ь) и понижает порядок:
Lp A Lp-X (2.7.7)
а 6 действует контравариантно (справа) на бра-векторы (коцепи) (/| и повышает порядок:
Lp Lp_! (2.7.8)
Покажем на примерах, как действует оператор кограницы 6.
94
Глава 2
Пусть M по-прежнему трехмерное многообразие в трехмерном пространстве E3.
1. Рассмотрим простейшую одномерную цепь на M — кривую |6i) с границей Д|Ьі) =| Oq1 •* —а^). Обозначим = X1 и = х2. Учитывая обозначения первого примера, имеем
(Z0IAIb1) = (Z0 I о™ - а'2)) = /(X1) - f(x2). (2.7.9)
С другой стороны, формула Ньютона-Лейбница дает
f(xi) - f(x2) = [ Vf(X) ds = (Z1Ibi) = <I°|«|bi>, (2.7.10)
|бі>
где коцепь (Z1I определяется один-формой Vf(x)ds.
Таким образом, в данном случае оператор S переводит функции (ноль-формы) в один-формы:
S : f(x) Vf(x) ds. (2.7.11)
2. Пусть Ig2) — двумерная клетка. Тогда по теореме Стокса имеем
(j) Ads= J TOiAdd. (2.7.12)
Л|й> |й>
Левая часть этой формулы согласно выражению (2.7.4) имеет вид (Z1IAIg2)- Тогда, сравнивая определение опрератора <5 (2.7.6) и (2.7.12), получим, что S переводит один-форму Ads в два-форму rot A da.
