Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
(2.7.22)
Глава З
Теория Морса и ассоциированные вопросы
1. Критические точки. 2. Топология «области меньших значений». 3. Неравенства Морса. 4. Теорема Пуанкаре-Хопфа об индексах векторного поля. 5. Оценки числа полюсов аналитической функции. 6. Риманова поверхность алгебраической функции (формула Ри-мана-Гурвица). 7. Размерность пространства мероморфных функций (формула Римана-Роха). 8. Топологические аспекты многоканальной задачи.
3.1. Критические точки
Мы возвращаемся к разделу 1.1 с тем, чтобы напомнить постановку вопроса о критических точках. Пусть f{x\, ... , хп) — дважды дифференцируемая функция п действительных переменных. Критической называется точка, в которой градиент функции равен нулю:
Поэтому в окрестности критической точки прирашение функции может быть записано так:
і = 1, ... , Tl.
(3.1.1)
(3.1.2)
Критическая точка называется невырожденной, если
(3.1.3)
Теория Морса и ассоциированные вопросы
99
Симметричная матрица п х п (д2 f /dxidxj) может быть приведена к диагональной форме линейным преобразованием:
Ayi — ^ , SjjAxj, (3.1.4)
з
где S — неособенная матрица. Тогда в невырожденной критической точке при соответствующем выборе масштаба измерения новых локальных переменных Ay, формула (3.1.2) может быть переписана в виде (1.1.1):
А/ = ~ ?(Az/i)2 + E (Д2/«-)2- (З.І.5)
1=1 1
Мы называем точку критической типа К, если число отрицательных квадратов в формуле (3.1.5) равно К. Очевидно, что точка типа 0 есть
минимум /, точка типа п — максимум, точки типа к при 0 < к < п
называются седловыми. В частности, если и(хх, х2) — функция, гармоническая в некоторой области, то все ее внутренние критические точки — седловые (к = 1). Действительно,
/ д2и \ O2Iid2U ( (Pu \2 0t [dxidxjJ ~ дх\дх2 ~ \дххдх2) ’ ( ^
поскольку для гармонических функций
д2и _ д2и Ъх\ дх\
Из формулы (3.1.6) следует, что в формуле (3.1.5) для Au должен быть один отрицательный и один положительный квадрат, так как det(д2 f /dxidxj) инвариантен относительно преобразования (3.1.4).
Рассмотрим поверхность уровня, содержащую критическую точку, т. е. поверхность f(xi) = /(ж?) = /с, где х\ — координаты критической точки. В окрестности критической точки на этой поверхности Af = 0 и уравнение поверхности уровня в локальных координатах Ayі = уі — у\ будет иметь вид:
к п
- E(Ayi)2 + E (д^)2=°- (зл-?)
i=l j=fc+l
100
Глава З
Таким образом, в окрестности критической точки поверхность уровня, содержащая критическую точку, в первом приближении совпадает с конусом. Если окружить критическую точку сферой Sn-1 малого радиуса є, то в тех же координатах уравнение этой сферы Sn-1 запишется так:
Пересечение конуса со сферой Sn 1 (3.1.8) есть прямая сумма двух сфер S*-1 Ф Sn-*-1 (к > 0):
Пусть теперь мы имеем поверхность уровня, отвечающую значению функции /с - ё2 < /с, где 6 — малое число (6 < є).
Лежащие на этой поверхности точки, близкие к критической, удовлетворяют уравнению гиперболоида:
Пересечение гиперболоида (3.1.10) со сферой (3.1.8) снова дает прямую сумму двух сфер:
Tl
(3.1.8)
І=1
І—1
(3.1.9)
«=*+1
к
Tl
(3.1.10)
1=1
j—k+1
(3.1.11)
Теория Морса и ассоциированные вопросы
101
3.2. Топология области меньших значений
Многообразие всех точек, в которых функция / меньше заданного числа А, называется областью меньших значений и обозначается символом (/ < А). Ясно, что при прохождении через критическую точку, т. е. при росте А от А = /с — (5 до А = /с + ё, топологическая структура области меньших значений претерпевает изменения. Это иллюстрируется рис. 35 на примере функции от одного переменного, заданной на интервале (а, Ь).
Рис. 35. Изменение топологической структуры области меньших значений при прохождении через критическую точку. Область меньших значений показана штриховкой.
Изменение топологической структуры области меньших значений при росте А можно выразить количественно через числа Бетти. Например, для случая, изображенного на рис. 35, нульмерное число Бетти Poif < А) = 2 при А < /с и po(f < А) = 1 при А > /с. В общем случае изменение чисел Бетти области (/ < А) можно произвести по следующей схеме. Из области (/ < /с + <5) исключаем малую шаровую окрестность Ue критической точки. Тогда
(f<fc + 8) = (Kfc-S)UUe. (3.2.1)
Для нахождения чисел Бетти pT(f < fc + ё) по pT(f < fc- ё) и Pr(Ue) можно воспользоваться теоремой сложения (2.6.62), полагая
M1 = (/</с - ,5), M2 = Us, M1 HM2 = if <Ъ-ё)пи?. (3.2.2)
102 Глава З
Мы докажем, что пересечение Mi ЛM2 гомеоморфно прямой сумме шарового слоя Rk и шара Ri © R%~k (к > 0). В самом деле
Ml = I Ay е Kn I - AVi + it, АУі < -^2} ;
I i=l i=fc+l J
M2 = j Ay Є К" | ?>,/?< є2 j;
решая совместно эти неравенства, получим
П JT2 Л2
E ^ < Чг1
i=k+1
S2 < J2AVi <є2-
і—I
Первое из них определяет шар _R”_fc в пространстве Rn-*, а второе — шаровой слой Ri в пространстве Mfc. Поэтому Mi П M2 = Ri © Rfi~к (прямое произведение).
Для чисел Бетти произведения двух топологических пространств имеет место формула Пуанкаре
