Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Представим, что мы имеем некоторую алгебраическую функцию. Она, вообще говоря, будет мероморфна не на комплексной плоскости z, а на отвечающей данной функции римановой поверхности. Так же, как
Теория Морса и ассоциированные вопросы
119
и в рассмотренном выше случае для плоскости множество мероморф-ных на определенной конечно-листной римановой поверхности функций, имеющих в фиксированных точках полюса, кратности которых не превышают заданных для каждого полюса чисел, является линейным пространством. Спрашивается, какова размерность этого пространства? Легко понять, что ответ будет не столь прост, как в разобранном случае для плоскостей. Например, на римановой поверхности функции
Vz2 — Ъ + у/Z2 — с a -I--------------------
Z-Z і
будут четыре простых (некратных) полюса, но размерность пространства мероморфных функций, имеющих простые полюса в этих точках римановой поверхности, равна всего лишь двум. Связь между суммой кратностей полюсов, родом римановой поверхности, т. е. числом ручек g, вклеенных в сферу, и размерностью пространства мероморфных функций на римановой поверхности определяется формулой Римана-Роха. Мы приведем здесь эту формулу без вывода, но поясним некоторые связанные с ее выводом понятия, имеющие более общую значимость. К числу таковых относится понятие дивизора. Дивизором называется формальная сумма:
к
D = X niai, (3.7.4)
>=i
где ai — точки римановой поверхности, а Tii — положительные или отрицательные целые числа; используя введенную ранее терминологию, можно сказать, что сумма (3.7.4) есть нульмерная цепь. Коэффициенты Пі называются порядками точек а» и иногда обозначаются так:
Tii = (ord D)i. (3.7.5)
Говорят, что
D1 > D2, (3.7.6)
если (ord D1 )i > (ord D2)і для всех точек і. Сумма всех щ называется степенью дивизора D и обозначается символом deg
degD = ?(ord D)i. (3.7.7)
120
Глава З
Совокупность всех дивизоров, натянутых на точки ах, ... , а*, образует, очевидно, аддитивную группу. Ее подгруппой является множество дивизоров, для которых
deg D = O. (3.7.8)
Дивизоры, удовлетворяющие равенству (3.7.8), называются главными. Они замечательны тем, что каждому такому дивизору отвечает ме-роморфная на данной римановой поверхности функция, имеющая в точках а,- нули или полюса. Дивизор, отвечающий мероморфной функции /, обозначается символом (/). Сопоставление мероморфной функции дивизора принято производить по правилу:
(Ord(Z))i < 0, если сц — полюс /; (3.7.9)
(Ord(Z))i > 0, если а,- — нуль f, (3.7.10)
причем |(ord(Z))»| равен кратности соответственно полюса или нуля.
Поскольку у мероморфной функции сумма кратностей полюсов равна сумме кратностей нулей, то
deg(Z) = ?(ord(Z)),= 0 (3.7.11)
І
и дивизор (Z) является главным.
Важным является понятие размерности дивизора D. Размерностью дивизора D (dim Z)) называется размерность пространства мероморф-ных функций,таких, что
(Z) > -D. (3.7.12)
Заметим, что если
D < О,
то согласно определению (3.7.12)
dim D = 0.
Далее, если D = 0, то, очевидно, dim D = 1, поскольку в этом случае возможна лишь мероморфная функция, не имеющая полюсов, т. е.
константа.
Теория Морса и ассоциированные вопросы
121
Среди дивизоров, помимо главных дивизоров, определенную роль играют так называемые канонические дивизоры С, которые отличаются тем, что их степень равна взятой с обратным знаком эйлеровой характеристике сферы с g ручками:
AegC = 2g-2 = X(Pg). (3.7.13)
Канонические дивизоры С связаны с абелевыми дифференциалами, однако мы не можем здесь обсуждать этот аспект.
В терминах дивизоров теорема Римана-Роха может быть сформулирована следующим образом:
dim D = deg D — g+ 1 + dim(C — D). (3.7.14)
Здесь g — род (число ручек) рассматриваемой римановой поверхности алгебраической функции, С — один из канонических дивизоров.
Пользуясь формулой (3.7.14), найдем размерность канонического дивизора. Полагая D = C и учитывая, что dim(C' — D = 0) = 1, имеем
AimC = 2g-2-g+l + \ =g. (3.7.15)
Далее легко установить, что если
AegD > 2g—2, (3.7.16)
то
dim(C' -D)= 0. (3.7.17)
Действительно, в этом случае
deg(?> - С) > 0 (3.7.18)
и для главного дивизора (/), отвечающего мероморфной функции /, мы должны иметь
(/)> -(C-D) =D-C. (3.7.19)
Отсюда следует
deg(/) > deg(D - С) > 0,
122
Глава S
что невозможно, так как deg(/) = 0, Это означает, что нет ни одной ме-роморфной функции, удовлетворяющей условию (3.7.19) или, другими словами, что размерность соответствующего пространства мероморф-ных функций равна нулю.
Резюмируя изложенное, на основе формулы Римана-Роха можем высказать следующее утверждение. Пусть сумма кратностей полюсов мероморфной функции на римановой поверхности рода g равна тп. Тогда размерность I пространства мероморфных функций на этой римановой поверхности определяется формулой:
1 = тп — g+1+6, 0, (3.7.20)
причем заведомо
ё = 0, если m>2g—2. (3.7.21)
Для случая комплексной плоскости, которая гомеоморфна сфере S2, (g = 0), неравенство (3.7.21) выполнено всегда и формула (3.7.20) переходит в выражение (3.7.1). Если же g > 0, то даже при 1 = 2 (наименьшая размерность, отвечающая пространству мероморфных функций, отличных от константы) число полюсов тп может достигать значения
