Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы получить систему k уравнений, разыскивают прежде всего дважды непрерывно дифференцируемую функцию F2, которая состоит в инволюции с функцией F1. т. е. является решением линейного однородного дифференциального уравнения (см. пп. 9.1 и 14.4)
[F1, Z] = 0,
134
ГЛ. iii. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ с П ПЕРЕМЕННЫМИ
|12.9
или, что то же самое, постоянна вдоль каждой характеристической полосы уравнения (1). Такие функции называются первыми интегралами уравнения (1). Их часто удается найти, комбинируя характеристические уравнения, как это всегда пытаются делать при решении дифференциальных уравнений с частными производными. Если
при этом удается получить даже больше таких функций: F2.....Fv,
находящихся в инволюции друг к другу, то все эти функции можно использовать для построения инволюционной системы
Если найдены функции F2.....Fk (где k — n или /г = «4-1),
то каждую функцию Fv для v 2 можно заменить через Fv — с произвольными константами Av. Тогда на основании п. 14.3 получается даже полный интеграл уравнения (1).
12.9. Частный случай: p=f(x, у, д).
(а) Для дифференциального уравнения
p=f(x,y,q), (36)
в котором у опять означает совокупность у,.....уп; q—сово-
dz dz .
купность qv ..., qn\ р = ; qv = gp- , а сама искомая функция
z — z (х, у) отсутствует, понятие полного интеграла может быть усилено. Именно, под полным интегралом здесь понимается интеграл, зависящий от параметров а и а = (а1.....ап):
,г = ф(х, у, а) + а.
который в рассматриваемой области дважды непрерывно дифференцируем по всем 2п-\- 1 аргументам х, у, си удовлетворяет неравенству
(б) Если функция f(x, у, q) в окрестности точки (х0, у0, q0} дважды непрерывно дифференцируема, то уравнение (36) имеет в окрестности точки (х0, у0) полный интеграл в указанном выше смысле.
Его можно получить следующим путем. Найдем решения характеристической системы уравнения (36) (см. § 12, (13)):
у; (х) = — (х, у, q), q'v (х) = (х, у, q) (v = 1.....и); (38).
*'(*) = /- StfX • (39>
') Если только все они функционально независимы, т. е. выполняются! необходимые условия § 14, (21) и (24).
12.9] § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ 135
Пусть (6, а) — произвольная точка в достаточно малой окрестности точки (у0, д0). Решение уравнения (38), которое для х — х0 принимает значение (6, с), имеет вид
yv = Kv(x, Ь, a), qx = Qx(x, b, a), v=l.....га. (40)
Если положить z (х0) = с • 6, то из (39) следует, что
z = Z(x, 6, a) = ab+ Г I QvFgv — Fjdx, (41)
ло ^v=l /
причем большие буквы F, Fg^ означают значения функций /, fg^ после подстановки в них Kv, Qv. Разрешая первые п уравнений (40) относительно 6, мы получим (для значений х, у, а, принадлежащих достаточно малой окрестности точки (х0, у0, д0)) вполне определенную дважды непрерывно дифференцируемую функцию Ь = В(х, у, а). С ее помощью из (41) находим полный интеграл уравнения (36)
z — 1]) (х, у, с) + а = Z (х, В, а) -4- а,
для которого ф (х0, у, а) = а -4- су.
(в) Если для дифференциального уравнения (36) найден полный интеграл'), то решения характеристических уравнений (38) можно получить из него только с помощью дифференцирования и исключения.
Пусть / (х, у, q) — функция, дважды непрерывно дифференцируемая в окрестности точки (х0, у0, ^0); пусть z = ty(x, у, c)-j-a в окрестности точки (х0, у0, — полный интеграл уравнения (36), дважды непрерывно дифференцируемый по х, у, а, и пусть в точке (хо> Уо. ао) выполняются условия
\ = ^ v=l.....га; ^.....^>Ф0.
Разрешим уравнения
% (х< У- a> = *v v==1'----я (42)
v
относительно у в некоторой окрестности точки (х0, а0, 60), где
пусть результат будет y=Y(x, а, Ь). Положим, далее, Qv(x, a, b) = Hpyv(x, Y, а).
Тогда функции
yz=Y(x, а, Ь), q — Q(x, а, Ь)
') Что иногда удается сделать без решения характеристической системы.
136 ГЛ. Ill- НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ (I2.10
1) [См. Степанов, стр. 412—416; Курант, стр. 111—138, а также «Р. Р. Г а н т м а х е р, Лекции по аналитической механике, Физматгиз, 1960; И. М. Гельфанд и С. В. Фомин, Вариационное исчисление, Физматгиз, 1961. — Прим. ред.]
2) Здесь буквы рх, qv имеют уже не тот смысл, какой мы придавали им до сих пор.
3) [Массы предполагаются единичными. Обозначения переменных в этом примере отличаются от обозначений, принятых по всей книге. — Прим. ред.]
являются решениями уравнений (38). Таким образом получаются все интегральные кривые системы (38), проходящие в достаточно малой окрестности точки (л:0, у0, q0).
12.10. Приложение к механике1). В механике конечного числа материальных точек характеристические уравнения (38) (называемые уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями) записываются в виде2)
dqv _ 1щ_ dpv д&е
~dT~~dPv' ЧГ~~ dqv • v—1(™>
где функция Гамильтона
ЗЮ = Зе(!, qx.....qn, рь .... Рп)
—данная функция, a qv—qv(t), pv=pv(t)— искомые функции. В силу п. 12.9 можно получить решения канонических уравнений из полного
