Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
8.12. z = 2 *Д Н- (я -f-1) (р,р2 ... p„)n+1; уравнение Клеро.
v = l
и 1
Полный интеграл z=2 А>-*\> + (и + О (А ••• A)"+IJ
v=l (_пп
особый интеграл z = —-—-—.
хх...хп
8.13. /(р,.....Pn)==xiP\~if ¦¦• ~~*т~хпРп' f—однородная степени т функция.
Из первых интегралов (v = 2, .... л) получаются
А
уравнения pv = -^-p, (v=2.....ri), образующие вместе с
данным уравнением полную систему. Из этой системы
-^—^-1 "— 1 ** следовательно.
—ST-V/Mi.....Ап)) -|-с-
8.14. /(р,, p„)=2Vv(/\)
v=1
Первые интегралы — функции Fv (pv) — (р,), где (р) =
— / (р) • Система, состоящая из данного уравнения и уравнений Fv(pv)— Fl(pl) = A (v = 2, .... п), разрешается относительно pv. Если pv = Pv (хи .... хп)—решения, то
j ^Pvdxv — интеграл данного уравнения.
Е,. 1я v=l
ГЛАВА IX СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
9.1. F(p, q, z — xp—yq) = 0, G(p, q, z — xp—yq) = 0.
Если F (a, b, с) = 0 (a, b, с) = О, то z = ax 4- by 4- с — общее решение.
9.2. p* + p\ + pl=f(x{ + xl+xl), х2р,-х,р2 = 0.
Система инволюционная. Второе уравнение линейное, и решения его вполне очевидны. Затем из них выбираются такие, которые удовлетворяют также первому уравнению.
Интегральным базисом второго уравнения будет, очевидно, x2 + jc|, л:3. Поэтому интегралами этого уравнения являются также все непрерывно дифференцируемые функции ?(?i> |2), где %X = Yх\-\-х\, Ь% — хъ. Если эти функции удовлетворяют и первому уравнению, то должно быть ?| -f- = / (?2 +|2).
Об этом дифференциальном уравнении см. 6.64.
9.3. рхрг = х3х4, рм^х^
Образование скобок приводит к уравнению
XlPl 4" х2р2 — Х3Р3 — XiPt = °-
Три уравнения образуют полную систему. Разрешая ее относительно рх, р2, р3, получают:
„ _ Х2Х3 _ _ xtPt „ _ Х1Х2 .
~рГ' р*-~^' р*—рТ*
или
Теперь каждая из обеих систем инволюционная. Вторая получается из первой подстановкой хх вместо дг2 (а также рх вместо р2).
260 ГЛ. XI. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ [9.4
Преобразование А. Майера
Z *^3* *^4^ ' ^ (^i №\* ^3* ^4^*
х1 = ии1, ' х2— Ьг — ииг> х3 = ии3 дает для первой системы
7 _ 2uutu3 (ии2 +12) , ц2 „
(Так как и должно пробегать интервал [0, 1], то теперь ясно, что введение условия ?2 Ф 0 было необходимо.) Так как ии и2, и3, ?2— параметры, то это—дифференциальное уравнение 6.52.
Поэтому здесь получается Z — А (ии2 + ?2) аг4 + "3^'ц -f- В,
следовательно, z = Ах2х4-\- *1д3 + В. Подстановка л:, вместо
х2 дает интегралы z — Ах{х4-\- jX^--\-B. Полными интегралами являются также
2 = 2 У^ХхХ^ (х2х4 — A) -f- В, 2 \fx2x3 (xtx4 — A) -f- В. Применение преобразования Якоби см. в ч. I, п. 14.7.
9.4. ptp2ps = p4, лт.Р^лт^ + лт^з + Р^з-
Образование скобок дает уравнение Р\Р2Рц — Рг- Если р1р2~0, то отсюда следует, что все pv = 0; тогда получается интеграл z = C. Если р3=-0 или р4=0, то соответственно р4=0 или р3 = 0. Тогда остается уравнение jr1p1 = = х2р2 с главным интегралом ххх2.
Пусть все pv ф 0. Тогда из трех уравнений следует:
рхр2 = ± 1, р3=±р4, JC,Pj = а:2р2 + (лг3 ± х4) р4.
Это инволюционная система. Для последнего уравнения, в зависимости от выбора верхних или нижних знаков ххх2, хх (дг3 -f- х4) или atiJC2, л:2(л:3 — х4) — интегральный базис, и он удовлетворяет также второму уравнению. Остается так определить ?(ti« W> гл-е %\ — х\х2 и 1г— хЛхъ-\~хд (соответственно х2(хз — хд)> чтобы ? удовлетворяла и первому уравнению. Получается уравнение (ср. с 6.51) (!i?g, + ) = ± 1 с первым интегралом ^ . Из ?|, = At,^ и предыдущего
уравнения получается ?|, = [±(|i-f-Л?г)] 2", следовательно,
^ = 2 ]/"±(|1+Л|2)Ч-Ви_
2 = 2 Уххх2 -j- Axt (xs + аг4) -f- В,
