Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
(а) Если дана общая система
Fv(r. z, р) = 0, v=l.....т, (12)
то ее можно преобразованием п. 12.3 перевести в систему, в которую искомая функция не входит, и затем после некоторых преобразований типа п. 14.5(b) применить метод п. 14.7. Тот факт, что искомая функция сама в получающиеся уравнения не входит, несет -с собой тот недостаток, что число независимых переменных возрастает на единицу.
(б) Предположим, что система (12) полная, и пусть т = п-\-1. Пусть, далее, система (12) удовлетворяется функциями
2 = ф(г), pv = %(r), v=l.....п, (20)
«которые в области ©(г) непрерывно дифференцируемы и для которых определитель (после подстановки выражений (20))
d(fl Fn+1)
ни в какой подобласти области ©. Тогда функция ф дважды непрерывно дифференцируема и фж^ —фу (v—1.....re), следовательно,
•ф — интеграл уравнения (12).
При т^.п-\-\ имеет место следующее обобщение1). Пусть -система (12) полная и удовлетворяется функциями
г = ф(г). Рц = Фц(г, Рт.....рп), Ц= 1.....т — 1, (22)
¦которые в области © (г, рт, ..., рп) непрерывно дифференцируемы ж для которых определитель
d(F', Fm) d(z, ри pm_t)
14.91
§ 14. система нелинейных уравнений
15»
после подстановки выражений (22) ни в какой подобласти области © не равен тождественно нулю. Тогда z = \j)(r) — интеграл уравнения (12).
(в) Пусть система (12) полная и т = п. Пусть система функций Pv = /vC-. «). v==1.....»¦ (23)
которые существуют в области ©(г, z) и там непрерывно дифференцируемы, обращают уравнения (12) в тождества. Далее, пусть-определитель (после подстановки выражений (23))
д(F1, .... F")
d(Pi.....Рп)
ф 0 (24)
ни в какой подобласти области ©. Тогда система (23), в силу 14.6 (г), инволюционна, а именно имеет специальный вид п. 7.1.
(г) Пусть система (12) в области ©(г, z, р) инволюционна и: т-^.п. Пусть возможно эту систему так дополнить уравнениями
Fv(r, z, р) = 0, v=m-\-l.....п или п-\-1, (25>
что получающаяся инволюционная система (12), (25) имеет п или re-f- 1 уравнение. В этом случае, можно использовать методы (в) и (бу (разумеется, в случае, если остальные приведенные там предположения выполняются). При этом можно еще заменить нули в правых. частях (25) произвольными константами и получить полный интеграл, системы (12).
Следовательно, при этом методе существенно суметь найти п — т или п—т -(- 1 левых частей уравнений (25). Это делается шаг за шагом, как описано в п. 14.7(6), только встречающиеся там скобки Пуассона надо заменить скобками Якоби.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Принцип довольно строгой лексикографической упорядоченности, столь необходимый в справочнике по обыкновенным дифференциальным уравнениям, здесь не нужен. Он заменяется следующим принципом: дифференциальные уравнения в частных производных объединены в отличающиеся друг от друга группы, и эти группы упорядочены с учетом прежнего лексикографического принципа. Для линейных дифференциальных уравнений указывается интегральный базис (главный интеграл), для нелинейных — полный интеграл.
Выражение Q(и{, . . ., иг) всегда означает произвольную непрерывно дифференцируемую функцию. У линейных и квазилинейных уравнений для функций от трех независимых переменных последние ¦обозначаются через х, у, z, а искомая функция через w(x, у, z). В других случаях независимые переменные обозначаются через х, у или через хх.....хп, искомая функция — через z, а ее производные — через р, q или соответственно рх.....рп.
[Более подробные объяснения методов решения конкретных уравнений можно найти в части I и руководствах, указанных там в прим. ред., а также в следующих работах: Э. Айне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков, 1939; Н. М. Матвеев, Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л., 1955; И. М. Гюнтер и Р. О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, т. II, М., 1959; А. Ф. Ф нл н п п о в, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 1961.
При составлении настоящего справочного отдела автором были использованы работы:
A. R. Forsyth, W. Jacobsthal, Lehrbuch der Differential gleichungen, 2 Aufl. Braunschweg, 1912; A. R. Forsyth, Theorie of Differential Equations, Bd. 2 —4, Cambridge, 1900— 1902; E. Ooursat, Lecons sur lintegration des equations aux derivees partielles du premier ordre, 2 Aufl., Paris, 1921, O. Julia, Exercices d'Analyse t. 3 —4, Paris, 1933, 1935, M. Morris, О. E. Brown, Differential Equations, New York, 1935, а также многие другие зарубежные издания, довольно старые и малодоступные. Ссылки на эти книги и статьи, как правило, опускались. — Прим. ред.]
ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЛИШЬ ОДНУ ЧАСТНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ
1.1. F(x, у, z, р) = 0.
Так как в это уравнение входит только одна частная производная zx, то это дифференциальное уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для функции z(x, у), где у играет роль параметра.
[Для решения необходимо привлечь методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, неразрешенных относительно производной. См. Камке, ч. I, § 3; ч. III, гл. I. — Прим. ред.]
