Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому подходящим выбором функции Q можно из формулы (2) получить произвольно много интегралов, которые при |дг| -\- |у|-*0 стремятся к нулю.
2.36. хр -t-yq = z — a Yz2 — х2 —у2, x2+y2<z2. Из характеристических уравнений x'(t) = x, y'(t)*=y, z'(t) = z—a Yz2 — x2 — y2
следует: ~ = CV Подставим это соотношение в третье уравнение; тогда при х > 0 имеем:
dz dx
4%-i-Y№-*-<*•
и отсюда для функции и (х) — z/x получается обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
xu'-\-aYu.-r-C\— 1 =0, интегрируя которое, находим:
ха(и -f- Vи —С\— ! ) = С2.
Подставив сюда выражения для Ct и к, находим для соответствующего по ч. I, п. 5.4 однородного уравнения интегральный оазис
4>i = T' b = xa-1(z-\-Yz2 — x2—y2).
Кривые 1^=: Cj, ф2 = С2— характеристики данного дифференциального уравнения. При а — 1 это параболы, которые касаются конуса z2 = х'1 -f- у2; сам этот конус также является интегральной поверхностью данного дифференциального уравнения, но не принадлежит области z2 > х2 -4- у2, в которой коэффициенты имеют непрерывные частные производные.
168 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.37
щее однородное уравнение, то
х — у 2
-—у
|2
1+ху ' г
— его интегральный базис. Интегралы данного дифференциального уравнения получаются из соотношения
2.39. ах1р-\-Ьугя = сг2, аЬсфО.
Если построить, согласно методу ч. I, п. 5.4, соответствующее однородное дифференциальное уравнение, то
J___1_ J___1_
ах by ' ах сг
— его интегральный базис. Следовательно, интегралами данного дифференциального уравнения являются функции
с \ах ' \ by ах))
2.40. (А1—А0х)р~\-(А2 — А0у)я—/(г), Av = av-\-bvx -f- cvy.
Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному уравнению в смысле ч. I, п. 5.4, есть уравнение 4.11.
2.41. ху*р + 2уъя = 2 (у z — x2f.
Соответствующее (в смысле ч. I, п. 5.4) однородное уравнение 3.47 имеет интегральный базис
2.37. x*(p — q) = {z — x—y)\
Если построить, согласно методу ч. I, п. 5.4, соответствующее однородное дифференциальное уравнение, то
v-L-v х(г — х — у)
Х^У- г-2х-у
— его интегральный базис. Следовательно, интегралы данного дифференциального уравнения — функции
(2* + y)Q(*-f у)~х(х+у) . z~ Q(x-\-y)—x '
кроме того, также z = 2x-\-y.
2.38. (х>- + 1) р+(УЧ-1) Я = - У СУ» + 1) *2.
Если построить, согласно методу ч. I п. 5.4, соответствую-
2.441 44-59. /С*, у, z)p+glx, у, z)q**h(x, у, z) 169
Разрешая уравнение
относительно г, получают решения данного дифференциального
X2
уравнения. Кроме того, решением является также функция z = —.
2.42. (xy + a2)(xp—yq) = a(x2+y'i)z\
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного дифференциального уравнения интегральным базисом являются функции
1 , а х2 — у2 Ху> 7+2 ху + а2 '
интегралы данного уравнения получают из соотношения 1 а у2 — х2 . п. , 7=2-xJ+tf+Q(xy)-
Интегральная поверхность, проходящая через круг лг2~4-у2=г2, z = c, имеет уравнение
1 _ 1 , я у2 — X2 + а ~\f \_А 2 2
7~с + 2 ху+а2 ~ 2 (ху+а2) * Г Х У '
2.43. fp-\- gq — Az2-\-Bz-\-C, где /, g, А, В, С — данные функции от х, у.
Если zx, z2, z3, z4 — четыре различных интеграла, то их двойное отношение
Zi — 2*2 Z\ — Z&
w=—-- : —--
Z3-Z% 23-Zt
есть решение уравнения
f-wx-\-gwy = 0.
44—59. f(x, у, z)p+g(x, у, z)q = h(x, у, z); функции /, g линейны относительно z
2.44. p + zq = 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения функции xz—у, z составляют интегральный базис. Решения данного дифференциального уравнения получают из соотношения
Q(xz — у, z) — 0.
Например, если Q(u, v) — av — и—Ь или Q(u, г>) = 'У2 + и» то интегралы соответственно таковы:
170 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.45
2.46. zp+q = a.
Характеристики этого уравнения — параболы z — ay = A, z2 — Чах — В.
Интегралы получают, разрешая относительно z соотношение 2 О2 — 2ах, z — ay) = 0.
Например, для линейной функции 2 {и, v) отсюда получают в качестве полного интеграла параболический цилиндр
(z + А? = 2а (х + Ау) + В.
2.46. zp-\-aq = x.
Для соответствующего (в смысле п. I, п. 5.4) однородного уравнения функции
__У У
(x + z)e а, (х — z)ea
составляют интегральный базис. Интегралы данного уравнения получают из соотношения
Q [(х-f- z) е~°, (х — z) е«) = 0.
2.47. (l-z)p+(l 4-^)^ = 0.
Характеристики — прямые
(Л + 1)г + (Л-1)у = б, z = А. Интегралы получают методом ч. I, п. 5.4, разрешая соотношение
Q(z, X(z+l) + y(z— 1)) = 0 относительно z. Интегралами будут, например, функции
z=y~* + C. У + х
2.48. (z-T-ex)p~\-(z-\-ey)q = z2 — ex+y.
Подстановка z(x, y) = t,(l, Ц), t = ex, ц = еу приводит к дифференциальному уравнению 2.56.
Ш+1) -§ 4- -л ?+п) Jj-=р - |т).
2.49. (bz — су4-А)р4(сх—az-\-B)q — ay—bx + C; дифференциальное уравнение винтовой поверхности и поверхности вращения см. ч. 1, п. 5.3 (в), (г).
