Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
разрешить относительно pv: то
n v=l
— полный интеграл.
140 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ |13.4
(б) /,(*,. Pi) + h(x2, р2)-\- ... + /„(*„, Рп) = 0.
п
Пусть постоянные Av выбраны так, что 2 -<4V — 0. Тогда, разре-
v=l
шая уравнения
/v (Хх' Р\) ~
относительно pv:
Pv = ^v(xv. Av)> мы получаем полный интеграл в виде
л
Z = S / У* (XV Лv) dxy, + Л-v=l
13.4. Однородные уравнения. Пусть левая часть уравнения
F(r, z, р) = 0
становится однородной по z, pt, рп, если z заменить выбранной надлежащим образом степенью za.
Если аф\, то подстановкой z = wK, где Я= а°_^ > мы приведем уравнение к виду
F(xi.....х„, wx<, .... wXn) = 0,
не содержащему неизвестной функции.
Если а—\, то, полагая z — ew, мы получаем:
F(xu хп, 1, <wXy.....wx^=0.
Уравнение F(r, p) = zc, где левая часть — однородная по рх, ... .... рп функция степени т, есть частный случай однородного ура-т
внения при а = —.
13.5. F(r, z, р) = 0. Преобразование Лежандра. Пусть в области ©(г) функция z(r) дважды непрерывно дифференцируема. Пусть для 1 <^ k <^ п область © (г) можно преобразованием
^1=^, .... X^x^Xk-x. Xk = zXft(r).....Xn = zXft(r) (2)
взаимно однозначно отобразить на область ©(А"). Наконец, пусть в области ©
det|2-v-v|^0 (ц. v>ft).
Если положить
п
Z(X)= %x,z —z{r). (3)
Р= к "
13.61 § 13. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 141
то, наряду с уже приведенными соотношениями (2), (3), получаются также уравнения
zXv = — Zxv, V—1, k — 1, (4)
xv=Xv, v— 1.....k—1; xv = Zxv(X), v= k.....n,
n
z(r)= %XPZX ~Z(X). (5)
p= k v
Преобразование (4), (5) называется преобразованием Лежандра.
С помощью этого преобразования (коль скоро интегралы удовлетворяют указанным предположениям) дифференциальное уравнение
F(r, z, р) = 0 (6)
переходит в уравнение
/ ^
F Xi.....Xk-i, Zx., .... Zy , 2 XpZxn —Z, —Zx., • ¦ ¦
\ к n p=k p 1
Zxk_x, X_k.....*„) = 0 (7)
которое иногда проще первоначального уравнения. Если можно найти интеграл Z(X) уравнения (7), то (5) — параметрическое представление интеграла уравнения (6).
При этом преобразовании некоторые интегралы' могут пропасть (именно те, для которых указанные вначале предположения не выполняются). Следовательно, требуется еще исследовать, имеются ли подобные интегралы.
Если вместо (6) рассмотреть дифференциальное уравнение
F(r, р) = 0,
в которое неизвестная функция z не входит, то соответствующее преобразованное уравнение имеет вид
F(Xi, .... Xk-i, Zxk.....Zxn>—Zxt, •••
.... —zxk_l, Xk.....X„~) = 0.
fc-l я
13.6. 2Pv/v= SVv-/„+i. где 1<й<я и
v=l v=ft
/v=/v(-*i> ••¦> xk-v •••• P& 2*VPV — При преобразовании Лежандра (4), (5) данное дифференциальное уравнение переходит в квазилинейное дифференциальное уравнение
в
S^v-^^^+i. где Fv = /V(*i.....Xп, Z).
v=l V
142 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ (13.7
В частности, все сказанное справедливо для уравнения
и / и \
2 *v/v = fn+l> fv — fv\Pl.....Рп' 2 XVPV — z •
v=l \ v=l /
представляющего собой частный случай уравнения 13.6 при k— 1.
13.7. z = xlpl_-\- . . . +xnPn+f(pv . . ., Р„). Это — дифференциальное уравнение Клеро. Если / определена и дважды непрерывно дифференцируема в точке (Аг.....Ап), то
* = j4,*,+ ... +A„xn + f(A1.....А„)
— полный интеграл.
§ 14. Система нелинейных уравнений
14.1. Частный случай: pv=f{r, у, z, q), v= 1, . . ., т. Пусть дана система г дифференциальных уравнений, разрешенных относительно Есех г производных:
Pv = fv(r. у. г. Я). v= 1. .... т; (1)
здесь г = (Ху.....хт), з> = (у,.....ys), q = (q,.....qs), где
pv = ~chc^' q»~~by'' z = z(*• &~неизвестная функция. (Случай s — 0 допускается.)
(а) Если функции /v в рассматриваемой области ©(г, у, z, q) непрерывно дифференцируемы -по аргументам a:v, yv, z, qv, то каждый дважды непрерывно дифференцируемый интеграл г = ф(г, у) удовле-
т(т— 1)
творяет ———- уравнениям
=/;+/r+2/;(/;a+^). o<n.v<»). (2)
куда следует подставить z = ф, q — ф .
Следовательно', для данной системы (1) всегда можно написать еще несколько уравнений (2), которые также обязаны удовлетворяться, если система имеет дважды непрерывно дифференцируемое решение.
(б) Если уравнения (2) становятся тождествами при подстановке величин г, у, z, q, то соответствующая система (1) называется инволюционной системой или якобиевой системой или вполне инте-
14.3) § н. система нелинейных уравнении 143
Предположим, что выполнены условия интегрируемости (2). Пусть, далее, функция co(j>) непрерывно дифференцируема по любому уй и удовлетворяет неравенству
KJ + Д|toVv|<B. |i=l. .... s. (5)
Наконец, пусть выбраны числа р, а, удовлетворяющие условиям
°<Р<Ш1а(1 + 2,(? + 1)) И (б)
Тогда система (1) имеет в области
\xv — |v|<a; у — любое (7)
ровно один дважды непрерывно дифференцируемый интеграл z = ф (г, у) с начальным значением ф^.....\т, у) = co(j>) !).
