Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
2.53| 44—59. / (лг, у. г) t>+g{x, у. г) q=h (х, у, г) 171
2.50. 16 (х+у) — с (*+ г)] р-+[с (у -4- г) - а (у + х)] q =
= а(г + лт) —6(г+у).
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного дифференциального уравнения функции ах.-\- by -\- cz, xy-\-yz-\-zx составляют интегральный базис. Решения данного дифференциального уравнения получают, разрешая относительно z уравнение
Q(ax-\-by-\-cz, ху -f- yz + zx) — 0.
2.51. р — Axzq = 2x.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения функции y-\-z2, х2 — z составляют интегральный базис. Решения данного уравнения получают, разрешая относительно z уравнение
Q(y + z2, х2 — z) = 0.
Найдем интегральную поверхность, проходящую через гиперболу у-\-z = 5, х2 — z2=9. Так как гипербола должна удовлетворять этому уравнению, то получаем соотношение
Q(z2 — z + 5, z2 — z—j—9) = 0,
которое выполняется для О (a, v) = v — и — 4. Искомое решение z определяется из уравнения
х2 — z2 — у — z = 4.
2.52. xzp -\-yzq = ху.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения функции , z2 — ху составляют интегральный базис. Интегралы данного уравнения получают из соотношения
z» = xy + Q(±).
2.53. xzp-\-yzq =— х2—у2.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции x2-\-y2-\-z2 составляют интегральный
базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая относительно Z соотношение
x2 + y2 + z2 = 2(%).
172 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 12.54
x2 4-y2+22=JfQ ^У_у
2.56. х{z-\-x)p+y{z-\-y)q==zz — ху.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции — -f-ln|y|, — —J— In|л:J составляют интеграль-х у
ный базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая относительно z соотношение
9(5-4-1п|у|.|-4-1пИ) = 0.
2.57. (AqX—At) р + (А0у — A-i)q = A0z — A3,
Av = av-\-bvx-\-cvy-\-dvz; см. 4.10.
2.58. x2zp-\-ye*q = 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения функции
z, z In у — J dx
2.54. xzp+yzq = x2-\-y2-\-z2.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения функции
Ф1(*. У. = Ф2(*. У. 2г) = -^-(2г2 — 2(дг24-у2)1плг)
составляют интегральный базис.
Чтобы получить интеграл данного уравнения с начальным значением z = y2 при х=1, так определяют функцию 2(и, v), чтобы
2 (и, v) — Q
для
и = ф1(1, у. у^у, г> = ф2(1, у. у2) = у*. Таким образом, 2 (и, v) = u4 — v, и поэтому z*x2 = у4 + 2jc2 (лг2+у2) In х — искомый интеграл.
2.55. 2xzp-\-2yzq = z2 — x2—y2.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного у х2 4- у2 -4- г2
уравнения функции i -'¦ х - составляют интегральный
базис. Решения данного дифференциального уравнения получаются из соотношения
2.631 6С-65. f(x, у, z)p+g(x, у, z)q=h(x, у, г) 173
составляют интегральный базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая относительно z уравнение
Q^z, zlny — j ~dx^ = 0.
2.59. х2(у — z)p+y2(z — x)q = z2(x—у).
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения функции xyz, xy-\-yz-\-zx составляют интегральный базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая относительно z уравнение
Q (xyz, ху -\- yz + zx) — 0.
60—65. /(*, у, г) р+g (х, у, z) q == h (х, у, z); функции f,gnoz не выше второй степени
2.60. (2y2 + z2)xp — (z + Sx3)yq = (3*3г — 2у2) г.
Из характеристических уравнений легко получается, что вдоль каждой характеристики выражение x3-f-y2 — z постоянно. Поэтому
z = xz-\-y2 — С
— интеграл данного уравнения.
Интеграл, проходящий через параболу х = а, z — y2, получается из общей формулы при С=а3.
2.61. (х2 —у2 — г2) р + 2xyq = 2xz.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
jfS _J_ «2 _1_ г2 г
уравнения функции -1 ^ '-, — составляют интегральный
базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая отнот сительно z уравнение
2.62. (Sx2-\-yi-\-z2)yp — 2x(x2-\-z2)q = 2xyz.
Интегральный базис a, v соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения приведен при рассмотрении уравнения 3.44. Интегралы данного уравнения получают, разрешая относительно z уравнение О (и, v) = 0.
2.63. (ху — yz — z2) p-\-(xz — ху—у2) q = ху -f- xz+yz 4-у2—лг2.
Для соответствующего (в смысле ч. 1, п. 5.4) однородного уравнения функции х2-\- y2-\-2yz, х2-\- z2-\-2xy составляют
174 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (2.64
интегральный базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая относительно z уравнение
S(x2 + y2 + 2yz, х2+г2-\-2ху) = 0.
2.64. x7z2p+y2z2q = xy.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение
¦ "(ЫГ-»(*-7)+Ч*|-а(Ы)-
Левая часть этого уравнения и аргумент функции Q справа образуют интегральный базис для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения.
2.65. ху (ху 4- 2г2) р -\-yz (yz — x2)q = z2 (yz — *2).
Интегралы получают разрешением относительно z уравнения
2(f4+f+»)-<>.