Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
») См. Е. К а га k е, Math. Zeitschrift 49 (1943), стр. 267—275.
грируемой системой. Уравнения (2) называются условиями интегрируемости системы (1).
14.2. Теорема существования и единственности для якобие-вой системы в области аналитических функций. Пусть функции /v (г, у, z, q) являются регулярными аналитическими в точке (г°, у7, z°, q°) и в окрестности этой точки удовлетворяются условия интегрируемости (2). Далее, пусть дана функция co(j>), регулярная аналитическая в точке у0, причем справедливы соотношения:
со (У) = г°. со (У) = ф ц = 1.....s.
Тогда система (1) в достаточно, малой окрестности точки (г°, у°) имеет ровно один регулярный аналитический интеграл ,г = ф(г, у) с начальными значениями ф(г°, J») = co(j>).
14.3. Теорема существования и единственности для якобие-вой системы в области действительных функций. Метод Майера для решения якобиевой системы.
(а) Пусть при фиксированных | функции /v (г, у, z, q) дважды непрерывно дифференцируемы в области
|^,-У<а; у, z, о —любые, (3)
и пусть справедливы неравенства
144 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ [14.3
(б) Для фактического решения данной системы (1) часто с успехом может использоваться метод Майера. Преобразование Майера (см. п. 6.4) состоит в следующем: т независимых переменных хг, .... хт посредством соотношений
ХР — 1р = иие' Р=1.....т- (8)
представляются как функции от т-\-1 независимого переменного и, «1, .... ит, причем |я|<^1, |ир|^а; очевидно, что хр принимаются все значения в области | хр — Ipl^Ca. Вместо системы (1) теперь рассматривается одно уравнение
т
Ж = 2 V(bb1 + &1.....U*m + lm. У> Z§y-, .... Щ-}. (9)
в котором и, уи .... ys являются независимыми переменными, а и,, .... ит — параметрами. Если Z = 1P(tt, у, и,, .... ит) — интеграл дифференциального уравнения (9) с начальным значением
^(О, у, и,, .... ит)==и(з»),
не зависящим (это важно!) от uv, то
«(Г. 3') = ЧГ(1. у. xl — h.....xm — lm)
— искомый интеграл системы (1).
(в) Пример. Pt = q2 + y, p2 = q2 + y.
Система инволюционная. Если выбрать |, = ?2 = 0 и положить xv = mmv, то уравнение (9) принимает вид
Z„= (Wl + «2)(Z2 + y).
Для этого дифференциального уравнения из соответствующих характеристических уравнений находится интеграл
Z=-И (в,+«,)« —j(A-y)2+B.
Если А, В не зависит от и,, и2, то Z, как это и требуется, не зависит от и], и2 при и = 0. Если подставить mmv = jcv, то для исходной системы получается интеграл
г = А (*, + л:2) - ~ (А - у) 2 + В.
(г) Пусть функции fv(z,y, z, о, Я,) (здесь к = (л,.....Я„))
в области
|xv —|v|<fl; >», z, о —любые; Лц<Лц<Лц
А; раз непрерывно дифференцируема (к >-1) по всем т-\-2s-\- k1 аргументам xv, yv, z, gv, A,v; этим же свойством по предположению
14.41 § 14. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 145
') Здесь снова г = (xt.....хп), у = (у,, .... у„).
обладают функции , fv /х . Далее, пусть выполняются неравеи-
ства (4) и условия интегрируемости (2). Предположим, что функция со (у, к) в области
3» — любое; Л^, < ки < (10)
k раз непрерывно дифференцируема по yv, kv, так же как и ее производные Юу^. Далее, пусть выполнено (5). Наконец, пусть р, а снова выбираются в соответствии с (6). Тогда система
pv = fv(r, у, z, q, к), х=1....,т
при фиксированных kv имеет в области (7) ровно один дважды непрерывно дифференцируемый интеграл z = ф (г, у, к) с начальным значением
•••• 1т- У' (У. *)•
¦Функция ф(г, у, к) вместе с ее производными ф , * в области
|jfv-U<a; у —любое; Лц<лм<Л* (11)
к раз непрерывно дифференцируема по всем m + s + fe аргументам xv. yv, kv.
(д) Если
л
со (у, к) = к0+^кауо.
то, применяя (г) к системе (1), правые части которой не зависят от к, мы получим для этой системы полный интеграл z = \p(r, у, к) в достаточно малой окрестности значений хр — |р, т. е. интеграл, для которого
арь ФУ1. • ФУд) Q
д (Ао, Ai, —, As)
(е) Если система (1) задана не в области (3), то пытаются так расширить область существования функций /v и со, чтобы теорема (а) была применима.
14.4. Скобки Якоби и Пуассона. В более общих системах нелинейных уравнений (12) роль условий интегрируемости (2) играют уравнения (13). Некоторые свойства этих уравнений будут сейчас приведены.
Пусть функции F (г, z, у), О (г, z, у), Н (г, z, у) — непрерывно дифференцируемые функции своих 2/г -f-1 переменных г, z, у1) в области ©(г, z, у).
10 Э. Камке
146 гл. III. нелинейные уравнения с П переменными |14.5
v
или если использовать сокращенное обозначение dF
то
dXv~FjCV~lryvFz'
v=l
(б) Очевидно, что [F, С] = О для любой постоянной С;
[F, F] = 0, [F, 0] = —[О, /=¦].
(в) Для дважды непрерывно дифференцируемых функций справедливо соотношение
[[F, О]. Н] + [[0, Н], F] + [[H, F], G] =
= FX[0. H\ + GZ[H, F] + HZ[F, О].
(г) Соотношение [F, Z] = О при данной функции F есть линейное однородное дифференциальное уравнение для неизвестной функции Z = Z(r, z, у).
(д) Если функции F, G, Н не зависят от переменной z, т. е. речь идет о функциях F (г, у), G (г, у), Н (г, у), то скобка Якоби [F, G] переходит в скобку Пуассона (F, О), которая определяется так:
