Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 53

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 82 >> Следующая


v=l v=l

(е) Из (в) получается соотношение

((/>.-О). Н) + «0. Я), /0+ ((/*. П О) = 0.

(ж) Если Z7 — дважды непрерывно дифференцируемая функция и если ф] (г, у), фг (г- 3*) ~ дважды непрерывно дифференцируемые интегралы дифференциального уравнения (F, Z) = 0, то скобка Пуассона (tjjj, tj52) — также интеграл этого дифференциального уравнения.

14.5. Общая нелинейная система. Пусть дана нелинейная система дифференциальных уравнений

Fv(r,z,p) = Q, v=l.....т (12)

') [Иногда это выражение носит название скобок Майера; см. Степанов, стр. 385—387. — Прим. ред.]

(а) Скобка Якоби [F, G] определяется так

IF. О) = ± [(F,v + yvFz)Oyv-(GXv + yvGz)FyJ,

14.61 § 14. система нелинейных уравнений 147

<как всегда, здесь г = (х,.....хп), р=(/>,.....рп), z=z(r) —

искомый общий интеграл т уравнений (12)). Относительно функций Fv предполагается, что они в рассматриваемой области © (г, z, р) непрерывно дифференцируемы по своим 2п -\- 1 переменным.

Каждый дважды непрерывно дифференцируемый интеграл системы (12) удовлетворяет также уравнениям скобок

|/*\ Fv] = 0, 1<р, v<m; (13)

¦при этом F^v(r, z, р) = [/*\ Fv\ — скобки Якоби, определенные в п. 14.4 (а). Следовательно, данной системе (12) можно всегда поставить в соответствие уравнения (13), которые необходимо должны удовлетворяться, если система вообще разрешима.

14.6. Инволюционные системы и полные системы.

(а) Система (12) называется инволюционной системой, если

[/*. Fv] == 0. 1 < р, v < т. (14)

для всех значений г, z, р. Уравнения (14) называются условиями интегрируемости системы (12). Для случая системы (1) это определение только тогда совпадает с определением данным в п. 14.1 (б), когда все правые части системы не зависят от переменной z.

(б) Система (12) называется полной системой, если

Fv] = 0, 1 < р, v < т.

для всех систем чисел (г, z, р), которые удовлетворяют т уравнениям (12).

(в) Для того чтобы получить интегралы системы (12), эту систему дополняют до полной системы (ср. с п. 6.3 (в)) уравнениями (13) ¦(точнее, лишь теми из уравнений (13), которые не являются «алгебраическими следствиями» уравнений (12) в смысле (б)). К пополненной так системе потом снова применяют метод образования скобок, и так далее. Необходимое условие для разрешимости данной системы состоит, очевидно, в том, что каждая расширенная система «алгебраически разрешима», если г. z, р рассматриваются как числа.

Пример. р,р2 = х3х4, р3р4 = х,х2.

Сюда искомая функция г не входит. Путем образования скобок Пуассона получают уравнение

¦*iPi + хгР2 — XuPs — х4р4 = 0.

Система трех уравнений теперь полная. Если все же продолжить процесс дальше и образовать, например, скобки Пуассона первого и третьего уравнений

2 (х3х4 — р,р2) = 0,

то, как легко видеть, это уравнение является следствием первого уравнения. 10*

148 гл. III. нелинейные уравнения с П переменными (14.7

(г) Пусть система (12) с m<^n полная. Пусть уравнения (12) удается разрешить относительно рх, .... рт, т. е. система функций ри:

/V = /n(r- z> Pm+i.....Р„)' И=1. .... т, (15)

которые существуют в области ©(г, z, ртлХ. .... рп) и там непрерывно дифференцируемы, обращает уравнения (12) в тождества. Далее, пусть определитель

d(Fl, .... Fn) д(р......Рт)

(после подстановки в него выражений (15)) ни в какой подобласти области © не равен тождественно нулю. Тогда (15) — инволюционная система в смысле п. 14.1 (б).

(д) Если система (12) в области ©(г, z, р) инволюционна в смысле (а) и если функции Fv в области © дважды непрерывно дифференцируемы, то линейные однородные дифференциальные уравнения

[р*. Z] = 0, ц=1, .... т, образуют полную систему в смысле п. 6.3 (б).

14.7. Метод Якоби для инволюционной системы, не зависящей от Z. Речь идет о системе

Fv(r,p) = 0, v=l, т, (16)

m <С re, в которую искомая функция z явно' не входит и которая в области ©(г, р) инволюционна. Предположим, что нам удалось дополнить эту систему п — т уравнениями

Fm+1(r, р) = 0. . . ., F"(r, р) = 0 (17)

так, что полученная система п уравнений является инволюционной системой. Пусть эта новая система (16), (17) может быть разрешена относительно переменных /?,.....рп:

Pv = f(r), v=l, .... п. (18)

причем определитель (в который подставлены выражения (18))

УF"l Ф 0 (19)

d (Pi.....рп)

ни в какой подобласти рассматриваемой области г-пространства.

В силу п. 14.6 (г), система (18) является инволюционной, следовательно, f1 — fv и, таким образом, применим метод п. 6.1. Тогда

14.71 § 14. система нелинейных уравнении 149-

каждое решение системы (18) есть, в частности, решение системы (16).. Так как уравнения

Fm+l—A рп _ Л

Г —-^m+l- •••• г —лп'

где Av — произвольные постоянные, вместе с уравнениями (16) образуют инволюционную систему, то вместо (18) получаем зависящую-от Av систему

Pv = fv(r; Ат+1.....А„). v=l.....и, (18а>

интегралы которой зависят от Av, из этих интегралов можно получить полный интеграл системы (16).
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed