Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Решение сводится к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной; у следует рассматривать как параметр. Решение удается выписать явно, если уравнение
удается проинтегрировать в квадратурах или известных функциях.
См. Камке, ч. I, § 4; ч. III, гл. I. — Прим. ред.]
1.2. р =/(*).
1.3. p—fiy)-
z = xf(y) + Q(y).
[1.3а. p=f(x, у, z).
— = f(x. у, z)
[1.36. р=f(x, у).
S56 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ОДНУ ЧАСТНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ Ц.4
при интегрировании у рассматривается как параметр.—Прим. ред.]
1.4. хр=у.
z = y\nx-{-Q(y).
1.5. (ax-\-by + cz-\-d)p~ax+f>y-\-yz-\-(>.
(См, Камке, ч. I, п. 4.6 (в).—Прим. ред.]
1.6. (ax-\-by-\-cz)n р== 1; с^О, сфО, п> — 1.
Ищется интеграл, который при | х | -f-1 у | -> 0 также стремится к нулю. Для новой неизвестной функции и{х, у) = = их -f- by —(— cz (х, у) из данного дифференциального уравнения получается уравнение
и"их __ j аип -f- с
из которого получаем, если принять во внимание начальные условия
и
о
где Ф(у) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию Ф(0) = 0. Для достаточно малых | и | разложение подынтегральной функции в ряд и последующее интегрирование дает:
1_^_+...=л: + Ф(у).
Отсюда видно, что (*) — в самом деле интегралы желаемого вида.
ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
1 — 12. f(x, y)p+g(x, y)q = 0
2.1. ap+bq — O.
Решение см. ч. I, п. 2.4(a). Можно также сделать преобразование
z(x, у) = С CS. т|), l — ax-\-by, ч\ = Ьх — а у; тогда получается уравнение ?| = 0 и, следовательно, g = 2 (г)), т. е. z = Q (Ьх — ау).
2.2. ахр+ byq = 0.
z — \x\b\y\~a — главный интеграл; см. ч. I, пп. 2.4(6), 2.5 (б).
2.3. ayp-\-bxq = 0.
z — bx2— ay2 — главный интеграл; см. ч. I, пп. 2.4(a),
2.5(a).
2.4. (щх + bty+Ci)р + {ах + b<y-f-q — 0.
Характеристические уравнения:
x' (t) = axx -f- bxy -f- cx, yr (t) = a2x -4- b2y -\- c2.
Отсюда для любых чисел x, р следует:
кх' + РУ' = (оЛН- а2ц) х + Фук + Ь2ц) у + схк-\- с2ц. (1)
Числа к, и. могут быть определены так, что для подходящего числа 5 они являются нетривиальным решением системы
ajX, 4-= b1k-\-b2li = sn. (2)
= 0. (4)
ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.4
Тогда из (1) получается:
\х' + ^у' = s(kx-\-ny)-\-clk-\-c2n. (3)
Число s при этом надо выбрать так, чтобы оно являлось корнем уравнения
|о1—s а2 by b2 — s
(A) (Oi—Ь2У -\-Aa2by Ф0. Тогда уравнение (4) имеет два различных корня Sy, s2 и каждому из них соответствует решение av, nv системы (2). Далее, если
(Аа) аф2—афуФО, то s^feO и s2=?0, и из уравнений (3) следует:
_М' + ^У___Х2х' + |л2у'_
s, (А,* + |х,у) + с,а, + с2ц, s2 (Х2х + ц2у) + с,А2 + с2ц2 '
Это уравнение можно проинтегрировать и прийти к функции, которая постоянна вдоль каждой характеристики; получается интеграл
„ _ I si (Кх + Ц1У) + Vi + IV21"2
I «2 (Аг* + ИгУ) + А2С, + |Л2С2 |'
(Аб) аф2 — афу—0, то уравнение (4) имеет корни Sy = = o,-f-ft2 и s2=0, а уравнения (3) имеют вид
1ХХ'+ ЦуУ'= Sy(lyX + Hyy)-\- Vi + ^2. ) a2jc' -4- Ц2у' = a2Cj -f- Ц2С2. I
Если a2Cj + u,2c2 = 0, то последнее уравнение дает интеграл z=- А2х + ц2у.
Если a^-j-p^^O, то оба уравнения (5) можно поделить на это выражение; тогда новые левые части совпадут и образуют интегрируемое уравнение. Из него получается интеграл
Б) {ay — b2)2 + 4a2by == 0. Уравнение (4) имеет двойной корень s = i (ах -f- Ь2)\ для этого значения s имеем уравнения (2)
и (3) с соответствующими числами А, р., не равными нулю одновременно.
(Ба) вфО. Тогда можно так выбрать линейную функцию ах -\- ру -\- у, что для каждой характеристической кривой
d cur + Py-fy =_1 6
dt s (Адг-т-ИУ) + с1л + ?2И "
2.6] 1-12. / (x, y)p+g {x, у) 0=0 159
Вследствие (3) в данном случае
(кх' + и./) (ах' + В/) — s (ах -\- ру + у) (А.*' 4- ру') =
= (кх' 4- ру') [s (кх 4- ру) 4- Сук 4- с2р]; это соотношение справедливо, если
ах' 4- Ру' — s (ах 4- By 4- Y) = * &х + РУ) 4- ci^ 4" сгМ--После подстановки характеристических уравнений получаем: а (с,х 4- Ьху 4- Су) 4- В (с2х 4- b2y + с2) — s(ах 4- By 4- у) =
= s (Хх 4- м-у) 4- 4- С2Й-
Отсюда для а, В, у имеем уравнения (йу — s) а 4- вгР =
Ьха 4- (62 — s) р = \is, (7)
Cya-f-c^ — sy—Сук-\-c2\i.
Так как s4=0, то из последнего уравнения получаем у, если ¦оба предшествующих уравнения разрешимы. Определитель коэффициентов левых частей двух первых уравнений (7) равен нулю, и между коэффициентами левых частей существует та же самая зависимость, что и между правыми частями, а именно
(ах — s)n = byk, a2\i — (b2 — s)k.
Вследствие того, что 2s = ax-\-b2, эти оба уравнения являются просто уравнениями (2). Поэтому числа а, р, у можно выбрать так, чтобы они не были нулями и удовлетворяли уравнениям (7); следовательно, из (3) и (6) имеем:
кх' 4- цу' _ d ах 4- Ру + V
