Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, по существу надо лишь найти уравнения (17), т. е. подобрать дважды непрерывно дифференцируемые функции Fm+l, .... F". Это делается пбстепенно. (При этом предполагается, что F11 дважды непрерывно дифференцируемы.) Прежде всего надо разыскать такое Z=Fm+1. чтобы условия интегрируемости
(F1, Z) = 0, ..., (Fm, Z) = 0
были тождественно выполнены по г, р. В силу п. 14.4 (г), эти уравнения образуют линейную однородную систему дифференциальных. уравнений, а именно (см. п. 14.6 (д)) полную систему. Чтобы получить нетривиальное решение этой системы, можно использовать методы из § 6. Найдя такое решение Z=Fm+1, решают линейные уравнения.
{F^, Z) = 0, ц = 1.....m+1,
и т. д. При этом надо следить за тем, чтобы условие (19) было-выполнено.
Пример. В п. 14.6 (в) было установлено, что система
PiP2 — XiXt = 0, pspl~xlx2 = 0,
*iPi + Х2Р2 — хзРз — xtPt = О
полна. Разрешая ее относительно р2, ра, получаем (см. п. 14.6 (г) и (а) У инволюционную систему, а именно:
„ _ х*х* „ _ Х*Р* „ _ Х1Х2 . у
Pi — —г— > Рч = -—— . Рз = —г—. (*)
Pi х2 Pi
а также и вторую систему, которая следует из (*) заменой х\рх на х2р2у. и наоборот. Следовательно, достаточно рассматривать указанную выше систему (*).
Итак, решим линейные дифференциальные уравнения
150 гл. III. нелинейные уравнения с П переменными (14.8
•они имеют вил
—тг- Z -f- — Z -\- — Z =0, Р\ ' Р4 Р' Р4 А
Х4 7 Х*Р* у . pt _
¦—z*< —~F р>+Т =
-*2 х1 х1
Z +?l*Lzx + -^-Zn +^-Z„ =0. ' р\ * Р* Р, "2
интеграл этой линейной системы, очевидно, Z = —--А. Присоединяя
хъ
.вытекающее отсюда уравнение Z = 0 к трем уравнениям (*), получаем:
Pl = "Т' P*s**Ax*> Р^'а1' Р*=>Ах» ¦а отсюда, наконец, находим полный интеграл
Z — ^Х|Хз —j——^" J^2^4 —J- В,
-а также интеграл, получающийся после замены хх на д-2 и лс2 на jr,.
14.8. Применение преобразования Лежандра.
(а) Иногда независимые переменные и производные могут быть при надлежащей перенумерации так подразделены на два класса
хх. .... хк_х. Pi.....рк_х и хк, .... хп. рк.....р„,
что зависимость левых частей Fv системы (16) от /?,, рк-Х проще, чем зависимость от хх, хк_х, и, напротив, зависимость от хк, .... хп проще, чем от рк, . .., рп. В таком случае рекомендуется применять преобразование Лежандра. После применения ¦его система (16) переходит в систему
F*{Xl.....Xk_lt Рк.....Р„. -Я,.....-/>*_„ Хк.....Хп) = 0.
и эти уравне'ния теперь зависят от производных pv более простым •образом, чем от xv.
(б) При решении методом Якоби (см. п. 14.7) мы предполагали, что определитель (19) не обращается в нуль. В ряде случаев бывает, что при редукциях к инволюционной системе п уравнений с помощью ^уравнения (17) это предположение нарушается. Однако если хотя бы
д(Л, ....Я")
(Р......Рт)
¦ф0.
то систему (16), (17) можно иногда перевести с помощью преобразования Лежандра (см. п. 13.5) в такую, для которой предположение (19) выполнено.
14.8] § 14. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 15Т
Именно, если для выбранного надлежащим образом k > т справедливо неравенство
d(F>-----F")
d(Pi.....Pk-v xk.....xn)
то система (16), (17) переходит после преобразования Лежандра в инволюционную систему
ф1(х, р) = 0.....ФП(А\ />) = 0,
для которой
д(Ф\ .... Ф") ^
д(Ри Рп) ^
(в) Пример.
y*p* + xp + 3yq = Q. (*>
Дифференциальное уравнение может рассматриваться как система (16) с т = 1, и = 2. В силу п. 14.7, можно разыскать второе уравнение, находящееся с первым в инволюции. Из характеристической системы данного уравнения (*) получаются первые интегралы (ср. с п. 12.8)
у»3 — const и —т- — у = const, (**У
ур2
и каждое из этих двух уравнений образует вместе с данным, в силу п. 12.8,. инволюционную систему.
Если выбрать первое из получившихся соотношений (**), то мы придем к системе
А А ~ А3
и, таким образом, найдем полный интеграл данного дифференциального-уравнения:
-- А*
z — Аху 3--5— у -4- В.
о
Если выбрать второе из получившихся соотношений (**), то мы придем-к системе
JpT — У=*А. У2Р3 + ХР + 3У1 = °- (***)•
Здесь разрешение относительно р, q сложнее. Если ввести посредством преобразования Лежандра р, q как новые независимые переменные, т. е. положить
х = Р. р = Х, у = К, q = — Q, z = XP—Z, то из уравнений (***) получим:
-хщг — У = А, Y2X3+XP — 3YQ = 0.
Отсюда находим:
Р = X2Y (Y + A), Q= \-Х3 (2Y + A). (****>,
О
152 гл. III. нелинейные уравнения С П переменными |М.9
') См. С. R u s s у a n, Communications Kharkoff (4) 8 (1934), стр. 57—60.
Мз первого уравнения (****) имеем:
Z = 1 X*Y(К + А) 4-Q (К),
-а из второго уравнения (****) следует, что Q' (К) = 0, следовательно,
Z — Lx3V(Y+A)+B, х = Р — X2Y (K-f- А).
Наконец, делая обратное преобразование, находим окончательно:
2 - --
г = |- х2 (у2 + Ау) 2 +В.
14.9. Метод Якоби для общей системы.