Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 54

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 82 >> Следующая


Следовательно, по существу надо лишь найти уравнения (17), т. е. подобрать дважды непрерывно дифференцируемые функции Fm+l, .... F". Это делается пбстепенно. (При этом предполагается, что F11 дважды непрерывно дифференцируемы.) Прежде всего надо разыскать такое Z=Fm+1. чтобы условия интегрируемости

(F1, Z) = 0, ..., (Fm, Z) = 0

были тождественно выполнены по г, р. В силу п. 14.4 (г), эти уравнения образуют линейную однородную систему дифференциальных. уравнений, а именно (см. п. 14.6 (д)) полную систему. Чтобы получить нетривиальное решение этой системы, можно использовать методы из § 6. Найдя такое решение Z=Fm+1, решают линейные уравнения.

{F^, Z) = 0, ц = 1.....m+1,

и т. д. При этом надо следить за тем, чтобы условие (19) было-выполнено.

Пример. В п. 14.6 (в) было установлено, что система

PiP2 — XiXt = 0, pspl~xlx2 = 0,

*iPi + Х2Р2 — хзРз — xtPt = О

полна. Разрешая ее относительно р2, ра, получаем (см. п. 14.6 (г) и (а) У инволюционную систему, а именно:

„ _ х*х* „ _ Х*Р* „ _ Х1Х2 . у

Pi — —г— > Рч = -—— . Рз = —г—. (*)

Pi х2 Pi

а также и вторую систему, которая следует из (*) заменой х\рх на х2р2у. и наоборот. Следовательно, достаточно рассматривать указанную выше систему (*).

Итак, решим линейные дифференциальные уравнения

150 гл. III. нелинейные уравнения с П переменными (14.8

•они имеют вил

—тг- Z -f- — Z -\- — Z =0, Р\ ' Р4 Р' Р4 А

Х4 7 Х*Р* у . pt _

¦—z*< —~F р>+Т =

-*2 х1 х1

Z +?l*Lzx + -^-Zn +^-Z„ =0. ' р\ * Р* Р, "2

интеграл этой линейной системы, очевидно, Z = —--А. Присоединяя

хъ

.вытекающее отсюда уравнение Z = 0 к трем уравнениям (*), получаем:

Pl = "Т' P*s**Ax*> Р^'а1' Р*=>Ах» ¦а отсюда, наконец, находим полный интеграл

Z — ^Х|Хз —j——^" J^2^4 —J- В,

-а также интеграл, получающийся после замены хх на д-2 и лс2 на jr,.

14.8. Применение преобразования Лежандра.

(а) Иногда независимые переменные и производные могут быть при надлежащей перенумерации так подразделены на два класса

хх. .... хк_х. Pi.....рк_х и хк, .... хп. рк.....р„,

что зависимость левых частей Fv системы (16) от /?,, рк-Х проще, чем зависимость от хх, хк_х, и, напротив, зависимость от хк, .... хп проще, чем от рк, . .., рп. В таком случае рекомендуется применять преобразование Лежандра. После применения ¦его система (16) переходит в систему

F*{Xl.....Xk_lt Рк.....Р„. -Я,.....-/>*_„ Хк.....Хп) = 0.

и эти уравне'ния теперь зависят от производных pv более простым •образом, чем от xv.

(б) При решении методом Якоби (см. п. 14.7) мы предполагали, что определитель (19) не обращается в нуль. В ряде случаев бывает, что при редукциях к инволюционной системе п уравнений с помощью ^уравнения (17) это предположение нарушается. Однако если хотя бы

д(Л, ....Я")

(Р......Рт)

¦ф0.

то систему (16), (17) можно иногда перевести с помощью преобразования Лежандра (см. п. 13.5) в такую, для которой предположение (19) выполнено.

14.8] § 14. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 15Т

Именно, если для выбранного надлежащим образом k > т справедливо неравенство

d(F>-----F")

d(Pi.....Pk-v xk.....xn)

то система (16), (17) переходит после преобразования Лежандра в инволюционную систему

ф1(х, р) = 0.....ФП(А\ />) = 0,

для которой

д(Ф\ .... Ф") ^

д(Ри Рп) ^

(в) Пример.

y*p* + xp + 3yq = Q. (*>

Дифференциальное уравнение может рассматриваться как система (16) с т = 1, и = 2. В силу п. 14.7, можно разыскать второе уравнение, находящееся с первым в инволюции. Из характеристической системы данного уравнения (*) получаются первые интегралы (ср. с п. 12.8)

у»3 — const и —т- — у = const, (**У

ур2

и каждое из этих двух уравнений образует вместе с данным, в силу п. 12.8,. инволюционную систему.

Если выбрать первое из получившихся соотношений (**), то мы придем к системе

А А ~ А3

и, таким образом, найдем полный интеграл данного дифференциального-уравнения:

-- А*

z — Аху 3--5— у -4- В.

о

Если выбрать второе из получившихся соотношений (**), то мы придем-к системе

JpT — У=*А. У2Р3 + ХР + 3У1 = °- (***)•

Здесь разрешение относительно р, q сложнее. Если ввести посредством преобразования Лежандра р, q как новые независимые переменные, т. е. положить

х = Р. р = Х, у = К, q = — Q, z = XP—Z, то из уравнений (***) получим:

-хщг — У = А, Y2X3+XP — 3YQ = 0.

Отсюда находим:

Р = X2Y (Y + A), Q= \-Х3 (2Y + A). (****>,

О

152 гл. III. нелинейные уравнения С П переменными |М.9

') См. С. R u s s у a n, Communications Kharkoff (4) 8 (1934), стр. 57—60.

Мз первого уравнения (****) имеем:

Z = 1 X*Y(К + А) 4-Q (К),

-а из второго уравнения (****) следует, что Q' (К) = 0, следовательно,

Z — Lx3V(Y+A)+B, х = Р — X2Y (K-f- А).

Наконец, делая обратное преобразование, находим окончательно:

2 - --

г = |- х2 (у2 + Ау) 2 +В.

14.9. Метод Якоби для общей системы.
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed