Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
интеграла z — z (qx.....q„) соответствующего уравнения с частными
производными
?+*('¦'......«- ?.....?)-«¦ <">
Это дифференциальное уравнение называется в механике уравнением Гамильтона — Якоби, в геометрической оптике — уравнением эйконала.
Пример. Пусть материальная точка (х, у) движется в плоскости х, у под действием силы тяготения со стороны массы, закрепленной в начале координат. Движение происходит согласно уравнениям3)
x"(t) = Ux, y"(t) = Uy, где U = . С помощью функции Гамильтона
&е (х, у. р, q) = у (p2 + Ф) — и (х, у)
эту систему можно свести к канонической системе
x'(t)=*M>p, y'{t) = &eg, р'(*)= — ж>*. q' (t) = — &еу.
Уравнение в частных производных (44) для .функции z — z(t, х, у} имеет вид
k2
|2.П| § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ 13J
Vr ' J р2 Vr '
Ро Ро
„ „ . , Ik2 В2 где r=2A + ---
Второе из этих уравнений определяет траекторию пути, а первое —¦ время движения. Если проинтегрировать второе уравнение, то для В Ф О получим:
1 / В2 \ ¦б- — do = arcsin — yjp^--1 J.-f-const,
2AB2
где e2 = 1 —J--^—. Следовательно, траекторией является коническое сечение
=_В2_
Р А2 [1 -f- е sin (¦& — ¦&„)]
12.11. Оценка Нагумо1). Пусть функция / (лг, у. z, q) определена в области ®(х, у, z, q) и удовлетворяет там условию Липшица
п
\f(x, у, z, q) — f(x, у, z, ^)|<Л 2 kv — tfvl- (45>
v=l
Пусть для всех v = 1, .... п функции av (л:), bv (х) в интервале Ь~^.х<с непрерывно дифференцируемы, cv (х) < bv (х) и2)
•) См. М. Nag urn о, Journal of Math. 15 (1938), стр. 51—56; J. Szarski, Annales Soc. Polon. 22 (1950), стр. 1—34.
2) Существенно, что здесь стоит константа Липшица А из (45).
или если подставить g (t, р, Ь) = z (г, х, у), где х = р cos ft, у = р sin д,
Для этого дифференциального уравнения, согласно п. 13.3, имеем полный интеграл
р _
Z=-At + B$± § ]f 2A+^--BLdp+C. (.)
Ро
Решая теперь уравнения
-хт = const и -rjj- = const, оА дВ '
получаем искомые функции
¦* (О = р cos *i У (0 = Рsin
Если в выражении (*) для ? взять знак +, то кривая, проходящая при t = tn через точку (р0, ©„), запишется в следующем виде:
р р
dp
138 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ ЦЗ.Г
Обозначим через й область
|<х<с; av(x)<yv<fcv(x), v=l.....п. (46)
Пусть функции и (х, у), v (х, у) непрерывно дифференцируемы в й и системы значений х, у, z. q принадлежат области © при z = u, q =и и при z = v, q =v Наконец, предположим, что
ux>f(x. у, и. иУ).....иУп), vx*Cf(x, у, V. Vyt, .... Vyn),
причем в каждой точке области g знак равенства может иметь место самое большее в одном из этих двух неравенств, и, кроме того,^
и (|, У) > v (|, у) для av (1) < yv < bv (g).
Тогда
и(х, y)>v(x, у)
во всей области д.
Это неравенство Иагумо может быть использовано для оценки решения дифференциального уравнения (2).
Пусть правая часть этого уравнения определена в области ©, удовлетворяет там неравенству (45), и пусть область о. определена условиями (46). Предположим, что в © существует интеграл ф (х, у} с начальным значением ф(|, у) = и>(у), но саму функцию ф вычислить сложно или она нам неизвестна.
Если нам удастся заключить функции /, ш между двумя функциями /v(x, у, z, q), cov(y) так, что
Л < / < Л. < со < га2,
и если для дифференциальных уравнений p = flt p = f2 можно вычислить интегралы ф,(х, у), ф2(х, У) с начальными значениями *1>1 (!¦ У) — Щ (у)' Ф2 (!• 3*) — и2 (У)' т0 в области имеется оценка ф, (х, у)< ф (х, у) < ф2 (х, у):
Отсюда получается неравенство Хаара п. 4.4.
§ 13. Решение частных видов, нелинейных уравнений с п независимыми переменными
13.1. F(p) = 0. Если константы Av таковы, что F(AX.....Л„) = 0,
п
если F непрерывно дифференцируема и если 2 I FP \Ф^ то
v= 1
¦г = А0-\-А1х1+ ... +Апхп — полный интеграл.
I&31 § 13. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 139
13.2. F(z, р) —0. Если сделать подстановку
* = |=Л,*,-т- ... +Апхп,
то из данного уравнения с частными производными получается для обыкновенное дифференциальное уравнение .....А?) = 0.
13.3. F l/i (Xi, р,ф (z) ), .. ., /„ (х„, р„ф (z) )1 = 0. Это — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Пусть постоянные Av таковы, что
F(At.....Ап) = 0.
Разрешим уравнение
/v(-V Pv4>)=A>
относительно рху:
Pv4>{z) = gv(xv. Av).
Тогда
п
fq>(z)dz = jjjgv(xv, Av)dxv+A0 v=l
— интеграл данного дифференциального уравнения.
Рассмотрим частные случаи.
(a) /jC*,, Pi)/2(x2, р2) ... fn(xn, рп) = а.
При а —0 дифференциальное уравнение справедливо для всех таких z, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений
/*(**• Р*) = 0. (1)
Если это уравнение разрешить относительно рь:
то
z = f yk{xkydxk+&(Xi.....xk_v xk+1.....xn)
— решение уравнения (1), причем Q—произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
При а Ф 0 подберем константы Av так, что Л1 ... Ап = а. Если уравнения
