Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 57

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 82 >> Следующая


s (Xx-\-\iy)-\-clk-\-c2\k dt s (Ax-f-uy) -\-cl%-\- с2ц '

а потому

z= in I s (kx 4- РУ) 4- сук 4- c2p I - s s {Kx ™ + + Y+ ^ — интеграл.

(Бб) s — 0. В этом случае главный интеграл уравнения — легко находимый полином не выше второй степени.

2.5. .*ap4-yty = 0.

_ J___1_

У х '

2.6. (jc2—y2)p4-2jcy^ = 0.

Характеристические уравнения — окружности х2 4- У2 = су. Xs 4- у2

Главный интеграл z ——' .

160 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |2.7

2 = 61пМ4-^ТУ1-"

для т — 1, пФ 1, и соответственно для тф\, п—1.

2.9. р cosy-hq sin x = 0.

z = cosa:-|—sin у.

_ _ 4

2.10. 1//C*) P + Vf(y) Q = 0, /(0=2 Vv-

v=o

Частный случай уравнений 2.11, 4.12 (см. также Камке, ч. III, 1.71).

, в [ПШлПЩ _ й4 {х+у)2 _ «з (.+у).

Замена z(x, у)==?(|, ц), \ — ~х~' 4—-^ переводит это уравнение в такое же уравнение с |, t], ? вместо х, у, z и с f(t) = agt4 -f- ... -f- c4. Поэтому

— тоже интеграл первоначального уравнения, который, естественно, зависит от предыдущего.

2.11. f{x)p + g(y)q = 0.

z= I\ J?-— Г -4^- для /^=0, J /(*) J «W J 6

2.12. fyp-fxq = 0, f=f(x,y).

Это уравнение означает, что ищутся те непрерывно дифференцируемые функции, для которых функциональный определитель

д (г, /)

<Ч*. У)

;0.

Согласно ч. I, п. 2.7, это функции, функционально зависящие от /, т. е. все функции вида Q(f(x, у)).

2.7. (A3x — Al)p+(Aiy — A2)q^O.

Av = av + bvX -\-cvy; см. 4.9.

2.8. axmp + bynq = 0. Главный интеграл

Z = b(n—l)*1-"1 — а(m — l)у1-"' для тф\, пф\;

2.171 13-19. fUc. y1p+g(x, y)q*.h(x, y) 161

13—19. f(x, y)p-\-g(x, y)q = h(x, y)

2.13. ap-\-bq = c; Дифференциальное уравнение цилиндрической поверхности (см. ч. I, п. 5.3(a)).

2.14. ap-\-bq = xl—у1.

Если, согласно методу ч. I, п. 5.4, построить соответствующее трехчленное однородное уравнение, то

Ьх — ау, Sabz — Ьх3 + ау3

— его базис. Отсюда получаем интеграл данного неоднородного уравнения

г=-^(Ьх* — ау*) + 2(Ьх — ау).

Если, согласно методу ч. I. п. 4.2 (б), построить соответствующее двучленное однородное уравнение, то Ьх — ау — его главный интеграл. Если теперь применить преобразование

z(x, у) = ?(лг, у), х = Ьх — ау, у —у, то получается обыкновенное дифференциальное уравнение

откуда

что приводит к найденному выше интегралу.

2.15. ар 4- bq =f(x).

z = ~ J* f(x)dx-\-Q(bx — ay). Интеграл, который при дг = у равен нулю:

=4 \ /(о

dt.

bx—ay b-a

2.16. xp-\-yq = ax.

z^ax + Q^

2.17. xp-\-yq = a У-^+У; частный случай уравнения 2.18.

Характеристики — прямые у = Ах, z = a Yx2 -+- у2 + В.

11 Э. Камке

162 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.18

Интегральные поверхности получаются, например, винтовым движением какой-нибудь из этих прямых вокруг оси z:

z = aVxT+J2 + Q(^).

2.18. хр +уд = V^+jV2/' (У*!+У)..

Характеристики

у = Ах, z = f(Vx4^?) + B; интегральные поверхности имеют уравнение

2.19. ур — хд=уе*г+э2.

Преобразованием z(x, у) = ?(?, Vi), I = x2-\- у2, т) = у из данного уравнения получается обыкновенное дифференциальное уравнение

откуда

z = дге^+У5 -\-Q(x2-t~ у2). 20—31. /(*, >»)p + s4*, y)g = hl(x, y)z + \(x, у)

2.20. р + ^==аг.

Если построить, согласно методу ч. I, п. 4.2 (а), соответствующее трехчленное уравнение, то ze~ax, ze~av — его базис. Поэтому решения данного неоднородного уравнения получаются путем разрешения уравнения

Q (ze~ax, ге-°у) — 0

относительно z. Например, получают для конкретных случаев: А В

если 2 (и, v) =--1---1, то z = Аеах + Ве"»:

и v 1

если 2 (и, v)—Au-\-Bv—1, то — = Ае~ах -\-Ве~ау.

Если применить метод ч. I, п. 4.2 (б), то с помощью решения х — у соответствующего однородного уравнения и преобразования

z(x, y) = t(x, у), х = х—у, у = у приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению ?_ = а?. т. е. ? = Q (*)

откуда

z — Q(x — y) е"у.

2.251 20-31. fix, у) p+g(x, у><7=Л,(лг, у)г+Л„(лг, у) 163

2.21. р—УЯ——z'y частный случай уравнения 2.23.

Интегральная поверхность, проходящая через кривую 2(у4-г)спх = х24-у24- 1. 2 (у + z) sh х = х24-у2 — 1. или, что то же самое, через кривую

yz = 0, у + z = ех, имеет уравнение г = 0.

2.22. 2р—уд = — Z't частный случай уравнения 2.23.

Если построить, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), соответствующее трехчленное однородное уравнение, то е*у2, exz2 — его базис. Решение данного уравнения получается разрешением уравнения

?(е*у2. Л2) = 0 (1)

относительно z.

Если ищется интегральная поверхность, проходящая через кривую

y — xz, х — 1п у, (2>

то уравнение (1) должно, в частности, выполняться для кривой (2), т. е. должно быть

Й (у3, у31п-2у) = 0. (3)

В частности, если

Q(u, v) = — 3y/r?L-\-\nu, то из уравнения (3) получается

Зу

z-----

*4-21пу '

2.23. ap-\-yq — bz.

z = \yt&(\y\ae-%

2.24. х(р — q)=yz.

Если, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), построить соответствующее трехчленное однородное уравнение, то
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed