Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
s (Xx-\-\iy)-\-clk-\-c2\k dt s (Ax-f-uy) -\-cl%-\- с2ц '
а потому
z= in I s (kx 4- РУ) 4- сук 4- c2p I - s s {Kx ™ + + Y+ ^ — интеграл.
(Бб) s — 0. В этом случае главный интеграл уравнения — легко находимый полином не выше второй степени.
2.5. .*ap4-yty = 0.
_ J___1_
У х '
2.6. (jc2—y2)p4-2jcy^ = 0.
Характеристические уравнения — окружности х2 4- У2 = су. Xs 4- у2
Главный интеграл z ——' .
160 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |2.7
2 = 61пМ4-^ТУ1-"
для т — 1, пФ 1, и соответственно для тф\, п—1.
2.9. р cosy-hq sin x = 0.
z = cosa:-|—sin у.
_ _ 4
2.10. 1//C*) P + Vf(y) Q = 0, /(0=2 Vv-
v=o
Частный случай уравнений 2.11, 4.12 (см. также Камке, ч. III, 1.71).
, в [ПШлПЩ _ й4 {х+у)2 _ «з (.+у).
Замена z(x, у)==?(|, ц), \ — ~х~' 4—-^ переводит это уравнение в такое же уравнение с |, t], ? вместо х, у, z и с f(t) = agt4 -f- ... -f- c4. Поэтому
— тоже интеграл первоначального уравнения, который, естественно, зависит от предыдущего.
2.11. f{x)p + g(y)q = 0.
z= I\ J?-— Г -4^- для /^=0, J /(*) J «W J 6
2.12. fyp-fxq = 0, f=f(x,y).
Это уравнение означает, что ищутся те непрерывно дифференцируемые функции, для которых функциональный определитель
д (г, /)
<Ч*. У)
;0.
Согласно ч. I, п. 2.7, это функции, функционально зависящие от /, т. е. все функции вида Q(f(x, у)).
2.7. (A3x — Al)p+(Aiy — A2)q^O.
Av = av + bvX -\-cvy; см. 4.9.
2.8. axmp + bynq = 0. Главный интеграл
Z = b(n—l)*1-"1 — а(m — l)у1-"' для тф\, пф\;
2.171 13-19. fUc. y1p+g(x, y)q*.h(x, y) 161
13—19. f(x, y)p-\-g(x, y)q = h(x, y)
2.13. ap-\-bq = c; Дифференциальное уравнение цилиндрической поверхности (см. ч. I, п. 5.3(a)).
2.14. ap-\-bq = xl—у1.
Если, согласно методу ч. I, п. 5.4, построить соответствующее трехчленное однородное уравнение, то
Ьх — ау, Sabz — Ьх3 + ау3
— его базис. Отсюда получаем интеграл данного неоднородного уравнения
г=-^(Ьх* — ау*) + 2(Ьх — ау).
Если, согласно методу ч. I. п. 4.2 (б), построить соответствующее двучленное однородное уравнение, то Ьх — ау — его главный интеграл. Если теперь применить преобразование
z(x, у) = ?(лг, у), х = Ьх — ау, у —у, то получается обыкновенное дифференциальное уравнение
откуда
что приводит к найденному выше интегралу.
2.15. ар 4- bq =f(x).
z = ~ J* f(x)dx-\-Q(bx — ay). Интеграл, который при дг = у равен нулю:
=4 \ /(о
dt.
bx—ay b-a
2.16. xp-\-yq = ax.
z^ax + Q^
2.17. xp-\-yq = a У-^+У; частный случай уравнения 2.18.
Характеристики — прямые у = Ах, z = a Yx2 -+- у2 + В.
11 Э. Камке
162 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.18
Интегральные поверхности получаются, например, винтовым движением какой-нибудь из этих прямых вокруг оси z:
z = aVxT+J2 + Q(^).
2.18. хр +уд = V^+jV2/' (У*!+У)..
Характеристики
у = Ах, z = f(Vx4^?) + B; интегральные поверхности имеют уравнение
2.19. ур — хд=уе*г+э2.
Преобразованием z(x, у) = ?(?, Vi), I = x2-\- у2, т) = у из данного уравнения получается обыкновенное дифференциальное уравнение
откуда
z = дге^+У5 -\-Q(x2-t~ у2). 20—31. /(*, >»)p + s4*, y)g = hl(x, y)z + \(x, у)
2.20. р + ^==аг.
Если построить, согласно методу ч. I, п. 4.2 (а), соответствующее трехчленное уравнение, то ze~ax, ze~av — его базис. Поэтому решения данного неоднородного уравнения получаются путем разрешения уравнения
Q (ze~ax, ге-°у) — 0
относительно z. Например, получают для конкретных случаев: А В
если 2 (и, v) =--1---1, то z = Аеах + Ве"»:
и v 1
если 2 (и, v)—Au-\-Bv—1, то — = Ае~ах -\-Ве~ау.
Если применить метод ч. I, п. 4.2 (б), то с помощью решения х — у соответствующего однородного уравнения и преобразования
z(x, y) = t(x, у), х = х—у, у = у приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению ?_ = а?. т. е. ? = Q (*)
откуда
z — Q(x — y) е"у.
2.251 20-31. fix, у) p+g(x, у><7=Л,(лг, у)г+Л„(лг, у) 163
2.21. р—УЯ——z'y частный случай уравнения 2.23.
Интегральная поверхность, проходящая через кривую 2(у4-г)спх = х24-у24- 1. 2 (у + z) sh х = х24-у2 — 1. или, что то же самое, через кривую
yz = 0, у + z = ех, имеет уравнение г = 0.
2.22. 2р—уд = — Z't частный случай уравнения 2.23.
Если построить, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), соответствующее трехчленное однородное уравнение, то е*у2, exz2 — его базис. Решение данного уравнения получается разрешением уравнения
?(е*у2. Л2) = 0 (1)
относительно z.
Если ищется интегральная поверхность, проходящая через кривую
y — xz, х — 1п у, (2>
то уравнение (1) должно, в частности, выполняться для кривой (2), т. е. должно быть
Й (у3, у31п-2у) = 0. (3)
В частности, если
Q(u, v) = — 3y/r?L-\-\nu, то из уравнения (3) получается
Зу
z-----
*4-21пу '
2.23. ap-\-yq — bz.
z = \yt&(\y\ae-%
2.24. х(р — q)=yz.
Если, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), построить соответствующее трехчленное однородное уравнение, то