Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
х-\-у, zexp[x — (х -4- у) In х] — его базис. Поэтому интегралами данного дифференциального уравнения являются функции
z = Q (х 4- у) ехр [(х 4- у) In х — х].
2.26. xp-\-yq = az; дифференциальное уравнение однородных функций порядка а от двух независимых переменных (ср. с уравнением 4.8).
Для а—2 интегралами являются функции z=Ax2-\-Bxy-\-Cy2, а также, например, только один раз непрерывно дифференцируемая функция
- для -х24-у2=?0;
х* + у*
О для х — у = О
И*
164
ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
2.26. xp-\-yq = z— х2—у2-4-1.
Если построить, следуя методу ч. 1, п. 4.2 (а), соответствующее трехчленное однородное уравнение, то
У_ * + х* + у* + 1 I z + x2 + y2 + l\ х ' х \ У I
— его интегральный базис. Следовательно, данное уравнение имеет интеграл
z = — дг2 —у2—l-f-xQ^j.
2.27. (х—а)р-\-{у — b)q = z— с; дифференциальное уравнение конической поверхности с вершиной в точке (а, Ь, с). См. ч. I, п. 5.3 (б).
2.28. х(у-\-\) р-\-(у2— x)q—yz; см. уравнение 4.9, пример 2.
2.29. х(2у — х-\- 1)р— у(2х—у-\- l)q = (y — x)z.
Если построить, пользуясь методом ч. I, п. 4.2 (а), соответствующее трехчленное однородное уравнение, то
г (х + у-1)3
х-\-у — 1 ' ху
— его базис. Отсюда получаем интегралы данного уравнения:
г = (. + у-1)а(<^-'>3).
2.30. xfp+x*yq = (X2+у1) z.
Характеристические уравнения:
x'(t) = xy2, y'(t) = x2y, z' (t) = (x2 4- y2) z.
Если, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), построить соответствующее трехчленное однородное уравнение, то
х2 — у2,
* ху
— его базис. Отсюда получаем уравнение интегральной поверхности, для которой характеристики — асимптоты:
z = Cxy(x2 — у2).
2.31. Jt(jt24-<V)р+у(у2+Зх2)q = 2z(х2+у2).
Если, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), построить соответствующее трехчленное однородное уравнение, то
ху х2 — у2
2.331 32-43. f{X, y)p+g(x, y)q**h(x, у, г) 165
— его базис. Интегралы данного дифференциального уравнения получают, разрешая уравнение
относительно z.
Для того чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через круг x2-\-y2 = r2, z — a, функцию 2(и, v) нужно определить так, чтобы
Q (и, v) = 0
для
и = -^-, v= Х*—У* , X2_l_y2==r2i Z = a.
Отсюда находят вид функции 2 (и, v):
Q(u, v) = 4а4и2 -t- a2v2 — r\
и для получения искомого интеграла остается разрешить относительно z уравнение
4«4лг2у2 + а2 (л:2 — у2)2 z2 = г*г*.
32—43. /(*, з;) р + g (х, у) д = h (х, у, г)
2.32. p+g = ezsin(x-\-y).
Если, следуя методу ч. I, п. 5.4, построить соответствующее однородное уравнение, то
х — у, 2e~z— cos(JC + y)
— его базис. Интегралы данного уравнения получаются разрешением уравнения
2е~г = cos (х -f- у) -f- 2 (лг — у).
Интегральная поверхность, проходящая через кривую х -4- у = О, «zcos2jc=1, имеет вид
e~z = cos х cosy.
2.33. р -f - 2д = 1 + Уу — x — z.
Если, следуя методу ч. I, п. 5.4, построить соответствующее однородное уравнение, то
^(х, у. z)~2x — у. 1|з2(х, у, z) = x-\-2\fy — х — z
— его интегральный базис.
166 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.34
Если для данного дифференциального уравнения надо найти интеграл z = xx(x, у) с начальным значением х.\(.х, дг) = 0, то определяем функцию 0(и, v) так, чтобы
Q (и, v) = 0
am
и = ф1(д;, х, 0) = х, v = ty2(x, х, 0) = х.
Такой функцией является Q = v — и. Чтобы получить искомый интеграл, соотношение
ф2 — ф1 = у — jc-f-2 Y У — х — z = 0 разрешаем относительно z.
Xi(*. У) = У — х — (^^)2.
Эта функция для х ^ у действительно есть интеграл требуемого вида, хотя вычисления, в чем легко убедиться, прежде всего требуют х > у.
Если для данного уравнения ищется интеграл у^(х, у) с начальным значением Хг(0< У) = У. то его получают, разрешая уравнение ф2 —0 относительно z:
х2
Ъг(х, у) —у —х--j- для х<0.
Но в обоих случаях интеграл % (х, у) = у — х также удовлетворяет требуемым условиям. Итак, в обоих случаях имеются два различных интеграла требуемого вида. Однако это не противоречит общим теоремам из ч. I, пп. 5.4—5.6, так как там требовалось, чтобы начальные значения и сама функция z — x(x, у) принадлежали той области пространства х, у, z, в которой коэффициенты данного дифференциального уравнения имеют непрерывные частные производные первого порядка. Эти условия здесь не выполнены.
2.34. p+kq = (ax + by-\-cz)n.
Подстановка и(х, y) = ax-\-by-\-cz(x, у) приводит к дифференциальному уравнению 2.35
их -f- ktiy = си" -f- a -f- b.
2.35. ap-\-bq = zn-\-c.
Если построить, согласно методу ч. I, п. 5.4, соответствующее однородное дифференциальное уравнение.то
Г dz
2.36|
32-43. f(x, у) p+glx, y)?=»A(jr, у. г)
167
— его базис. Если z~q>(x)—непрерывно дифференцируемое решение уравнения
г
Г dz
о
то
z = <p(x-T-Q(bx — ау)) (2)
— решение данного дифференциального уравнения. Если т = — п — четное положительное число и с > 0, то из (1) следует, что х есть функция от z, производная которой отлична от 0 и которая при z = 0 принимает нулевое значение. Следовательно, ф(0) —0.
