Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
3) См. E. К a m k e, Math. Zeitschrift 49 (1943), стр. 256—284.
4) В соответствии с принятыми ранее обозначениями К означает вектор с компонентами Хи Кт.
s) Здесь, а также в неравенствах (26), (28), (29) знак равенства может быть опущен без всяких дополнительных оговорок.
?) См. L. Bieberbach, Theorle der Differentialgleichungen, Berlin, 1930, стр. 301—314.
12.7|
§ 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ
131
ства (23). Тогда для любого b > 0 найдется а > 0 такое, что дифференциальное уравнение (2) в области
\х — ||<а, |yv|<?, v=l.....и,
имеет полный интеграл.
Это следует из п. 12.6 (г), если считать функцию / не зависящей от К, и положить
п v=l
Если ф(х, з», Я.) — интеграл, существующий в силу п. 12.6 (г), то в точке х = |
1 у, ... у„
д(Ф. ФУ), .... 4>уп)
д (А0, Aj.....Ап)
О 1 О О
1;
таким образом, якобиан отличен от нуля также и в некоторой окрестности значения х = |.
В том случае, когда о функции / известно лишь то, что она в окрестности точки (|, у0, z0, q0) дважды непрерывно дифференцируема, также можно доказать, что дифференциальное уравнение (2) в достаточно малой окрестности точки (|, у0) имеет полный интеграл.
Для дифференциального уравнения (1) полный интеграл существует в окрестности каждого регулярного плоскостного элемента, если функция F в этой окрестности дважды непрерывно дифференцируема.
(б) Получение частных интегралов из полного. Пусть ф(г, с) — полный интеграл дифференциального уравнения (1);
здесь с=:(а,.....я„). Подставим вместо констант av непрерывно
дифференцируемые функции av (г)1) и положим2)
Тогда
Ч^(г) = ф(г, а1 (г).....а"(г)).
% + 2ф„< • v= 1, .... п.
') Для нумерации используются верхние индексы, внизу пишется аргумент, по которому производится дифференцирование, например: а* =
2) Результат будет справедлив в достаточно малой окрестности некоторой точки; в каждом конкретном примере область допустимых значений функций ak (г) требует отдельного изучения.
9*
132 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СП ПЕРЕМЕННЫМИ [12.7
Следовательно, х? — интеграл уравнения (1), если
п
2ф„ < =0, v = 1.....п, (30)
к = \ k v
причем в производные фа^ подставлены функции ак = а* (г). Таким
образом, если выбирать непрерывно дифференцируемые функции а" (г), удовлетворяющие условию (30), то указанный способ дает нам частные интегралы.
Если для всех k=\, 2.....п
% (г, о»(г).....а"(/¦)) = 0») (31)
то \F — особый интеграл уравнения (1).
Пусть для т (т < п) непрерывно дифференцируемых функций фр (с), р = 1, .... т и п непрерывно дифференцируемых функций аУ(г), v—l.....п справедливы равенства
Фр(а.....о")=0. р= 1, 2.....т, (32)
и, следовательно,
п
2<К.а* =0, v=l, .... я. (33) и = \ v
причем в функции подставлены значения ak — ak. Далее, пусть
для т. функций Я,р (г), р = 1..... т. справедливы равенства
т
фа (г, а1.....an)=2yK , k=\.....п. (34)
* Р= 1 ff
Тогда уравнения (30) являются следствиями (33), и, следовательно, функция \F есть интеграл уравнения (1).
Практически при данных Фр исходят из п~\~т уравнений (32) и (34) для п~\-т функций оЛ Я,р. Если из этих уравнений найдены непрерывно дифференцируемые функции а*, то их надо только подставить в функцию ф вместо аргументов ак.
Пример. Рассмотрим снова пример п. 9.5 (в):
pq = г, г!) = (х — а) (у — Ъ).
Пусть т = 1 и Ф (а, Ь) — аА -\- ЬВ, где А, В — произвольные постоянные, не равные нулю. В этом случае уравнения (32) и (34) имеют вид
аЛ + рВ = 0, В — у = КА, а —лг = аВ,
') Условие (31) справедливо, если имеет место равенство (30) и опре-д (а1 а")
делитель —' '"'—'— Ф О, однако условие (31) проще, чем это комбини-рованное условие.
,2.8) § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ 133
') Более подробно см. в § 14. 2) Определение см. в п. 14.1 (б).
и, следовательно,
_ Ах— By „_ Ах — By
а- 21 : Р— 2В :*
Таким образом, интеграл
(в) О существовании данного интеграла среди интегралов, определенных посредством полного интеграла. Пусть z — %(r)— фиксированный интеграл дифференциального уравнения (1). Если для выбранных соответствующим образом непрерывно дифференцируемых функций a* (rj) справедливы соотношения
Ф(г. ai.....a") = x(r),
ф> (г, а1.....а") = /, (г), v=l.....п,
то этот интеграл находится среди частных интегралов, определяемых методом (б) из полного интеграла ф(г, с).
Практически поступают так: из уравнений (35) вычисляют функции а* и исследуют, выполняется ли для них уравнения (30).
12.8. Метод Якоби1). Пусть F1— левая часть дифференциального уравнения (1) — дважды непрерывно дифференцируема. Дополним это уравнение «не зависящими» друг от друга уравнениями того же типа
F2=0.....F*=0
до инволюционной системы2) k уравнений. В общем случае получается k — n или k = п -f-1. (Если z само не входит в систему, то /г = и.) Эта система строится способом, изложенным в § 14. По сравнению с п. 14.9 (г) в рассматриваемом случае одного дифференциального уравнения (1) нет ничего нового, только изучаемая там первоначальная система т уравнений здесь состоит только из одного уравнения.
