Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
V " 4>г Vz I
Если, обратно, w = q>(r, z) при q>z Ф О— интеграл дифференциального уравнения
(wK, wx \ ху, .... хп, г,--1-, ....--^- =0 (15)
1 " wz wz I к '
и если равенство ф = 0 справедливо для непрерывно дифференцируемой функции г = ф(г), т. е. ф(г, ф(г)) = 0, то ф — интеграл уравнения (I)1).
Итак, находя интегралы ф(г, z) уравнения (15), удовлетворяющие условию фг Ф 0, и разрешая относительно z уравнение ф — 0, мы получаем интегралы уравнения (I)2).
Дифференциальное уравнение (15) уже больше не содержит саму искомую функцию tso.
Пример, xypq == z.
Преобразованное дифференциальное уравнение (15) имеет вид xywxwy — zwz = 0.
Из характеристических уравнений получаются первые интегралы: xwx и ywy Следовательно, можно составить инволюционную систему
А В Г~АВ
wx= — , wy = --, wz = y —,
из которой находим
w = А!п| х| +В!п |у | + 2VABz + С. Следовательно, искомые интегралы
г= 4^B(j4In|JC| + BIn|yl + C)2-
(б) Пусть и —и (г, t) — непрерывно дифференцируемая функция от п -\- 1 независимого переменного, удовлетворяющая соотношению
и = tut -f- с (с — константа), (16)
и ut = z — интеграл уравнения (I)3). Тогда функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению
/ их их V .....хп. ut'—r.....ITl^0'
126 гл. iii. нелинейные уравнения СП переменными (12-4
в которое сама функция и не входит1). Обратно, если и— интеграл этого уравнения и если уравнение (16) имеет непрерывно дифференцируемое решение t = % (г), то z — ut (г, % (г))—интеграл уравнения (1).
Пример. Для приведенного в (а) примера преобразованное уравнение выглядит теперь так:
XyUjcUy — t2ut — 0.
Оно снова имеет первые интегралы хих, уиу. Следовательно, можно составить инволюционную систему
А В АВ
ux=—t иу —у, ut — -р-,
из которой находим:
ar
u = A\n\x\-\-B)ii\y\ — ^- + C. Уравнение (16) имеет вид
ай
Л1п|л:|+В In Iу |+С = 2^-.
„ АВ
Если теперь наиденное отсюда г подставить в соотношение z — ut = ,
то для z снова получается выписанное выше в (а) выражение.
12.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций. Если встречающиеся функции и переменные—комплексные, то для дифференциального уравнения (2) имеет место обобщение теоремы п. 10.4.
Пусть в окрестности точки (л:0, j>0, zQ, <70) задана аналитическая функция f{x,y, z, д) своих 2n-f-2 переменных. Пусть далее, ь> (у) — аналитическая функция в окрестности значения у0, и пусть
20=гсо(з»0), qQ = (grau<i>)y=yi).
Тогда дифференциальное уравнение (2) в достаточно малой окрестности точки (л:0, з»0) имеет ровно одно аналитическое решение z = — ф(л:, з»), которое при х = х0 принимает значение ф(х0, у) = а>(у).
Коэффициенты степенного ряда для ф могут быть получены применением' к ф обычного метода степенных рядов и приравниванием коэффициентов при соответствующих степенях с учетом начальных условий2).
12.5. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши. Для дифференциального уравнения (1) можно доказать общую теорему существования (ср. с п. 10.2) с помощью метода харак-
') Этот метод сведения уравнения (1) к уравнению, не содержащему неизвестной функции, известен под названием метода Якоби — Майера. 2) См. О. Р е г г о n, Math. Zeitschrift 5 (1919), стр. 154—160.
12.5]
§ 12. нелинейное уравнение СП переменными
127
теристик Коши1). Для этого полезно обобщить понятие полосы, данное в п. 12.2.
(а) Под k-мерной полосой (k^ri) понимается /г-параметриче-ское семейство плоскостных элементов
r = r(r1, .... tk), z = z(ti.....tk), p=p(tb .... tk), (17)
которое имеет следующие свойства:
(а) функции r, z, р непрерывно дифференцируемы в области
// = //(*,.....**):
(В) справедливо условие полосы
Р^Г> v=l.....k; (18)
д(хи хп) d(h.....h)
имеет в каждой точке области Н ранг k.
Последнее условие есть выражение того, что полоса действительно Л-мерна. Условие (18) является необходимым для того, чтобы плоскостные элементы (17) принадлежали непрерывно дифференцируемой поверхности z~z(г), /г-мерная полоса называется интегральной k-мерной полосой уравнения (1), если она содержит только интегральные элементы уравнения (1).
(б) n-мерная интегральная полоса определяет («в малом») дважды непрерывно дифференцируемый интеграл уравнения (1). Так как для нее определитель
д (xlt —, хп) , „ d{tu .... tn) ^ Л
то первые п из уравнений (17) могут быть однозначно разрешены
относительно ty.....tn в окрестности каждой точки (/10, ..., tn0),
а потому функция z(tu .... tn) превращается в непрерывно дифференцируемую функцию от хх.....х„ с частными производными
Ру.....рп, которые в свою очередь также непрерывно дифференцируемы (в силу (18)).
Таким образом, для дифференциального уравнения (1) существование интеграла «в малом» вытекает из существования п-мерной интегральной полосы.
(в) Пусть функция Р (г, z, р) дважды непрерывно дифференцируема в области © (г, z, р). Пусть, далее,
