Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 43

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 82 >> Следующая


Два последних характеристических уравнения § 8, (6) данного дифференциального уравнения имеют вид р' = р, q' = q. Отсюда

следует, что — — первый интеграл. Для q=ap из дифференциаль-

ного уравнения получается соотношение

/О. ар) = хр-\-аур,

т. е.

ря~1/(.1. а) = х + ау.

и, следовательно,

1

I хА-ау \ n-i

Таким образом,

— полный интеграл.

11.12. z = xp-{-yg~\-f(p, д) и F(p, д, z — xp—yg) = 0.

Это — дифференциальные уравнения Клеро г).

Если функция F (и, v, w) определена в точке (с, Ь, с) и равна в ней нулю: F(a, b, с) —0, то z — ax~\-by-\-c, очевидно, является решением второго дифференциального уравнения.

Если второе дифференциальное уравнение разрешить относительно z — хр—yq, то тем самым оно сведется к первому дифференциальному уравнению.

Дифференциальное уравнение

Z=xp-\-yq-\-f(p, q) (4)

имеет для каждых двух чисел а и Ь, таких, что значение /(с, Ь) определено, интеграл

z = ах-\-by-\-f (а, Ь). (5)

Если функция / дважды непрерывно дифференцируема, то эти плоскости составляют полный интеграл.

(а) Если при фиксированном а производная fvv(a, v) ф 0 в некотором интервале vx < v < v2, то

y = — fv(a, v), z = ax-\-vy-\-f(a, v)

— параметрическое представление интеграла. Если при фиксированном b производная fau(u, b) ф 0 в некотором интервале их < и < и2, то интеграл имеет вид

x = — fu(a,b), z = ux-{-by-\-f (и, b). ') [См. Курант, стр. 102—103. — Прим. ред.]

11.13| § 11. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ЦТ

(б) Пусть функция /(и, v) непрерывно дифференцируема в области ©(и, v); пусть, далее,

и область ©(к, v) однозначно отображается на область ®(х, у} функциями

Тогда дифференциальное уравнение (4) имеет в области ©(л:, у> нелинейный интеграл, который параметрически задается уравнениями.

x = — fa(u,v), y = — fv(u,v), z = ux-\-vy-{-f(u,v)

(особый интеграл). Он, однако, иногда не существует (см. пример, ч. II, 6.7).

Каждая развертывающаяся поверхность, имеющая на каждой своей прямой точку касания с особой интегральной поверхностью, является интегральной поверхностью. Поверхность, проходящую через данную-начальную кривую, геометрически получают так: определяют плоскости, которые одновременно касаются начальной кривой и особой поверхности, и затем строят огибающую их поверхность.

11.13. F (х, у, р, д) = 0. Характеристические уравнения § 8, (6) без «условия полосы» имеют вид

x'{t) = Fp, y'(t)=Fg, p'(t)=-Fx, q'(t) = -Fy. (6>

Это — так называемые канонические уравнения (см. п. 12.10); они образуют разрешимую систему. Если решение этих уравнений (бу найдено, то из условия полосы

можно затем получить недостающую функцию z (t) квадратурами.

Если известно однопараметрическое семейство интегралов z = = ф (л:, у, а), которые дважды непрерывно дифференцируемы по всем трем аргументам, и если, кроме того, | 1 1Ф0>> | > 0, то функция ? —ф(х, у, а)-\-Ь является полным интегралом, а характеристические кривые х — х(t), y = y(t) удовлетворяют уравнению

д (и, v)

Ф0

x = — fu(u,v), у = — Д(И, V).

z'(t) = p(t)x'(t)-{-q(t)y'(t)

фа = const.

Свойство (7) находит применение при решении уравнений движения», механики (см. ч. И, 6.65).

118 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (11.14

11.14. F(x,y, г, р, д)==0. Преобразование Лежандра Пусть •функция z(x, у) дважды непрерывно дифференцируема в области <Ь(х, у), пусть

d (zx, zy)

—д-.-г— ф 0 ни в какой подобласти области @, (8)

" \х, У)

>и пусть область ®(х, К) взаимно однозначно отображается функциями

X=zx(x, у), Y=zy(x,y) (9)

«а область ® (X, Y). Если сделать замену

Z(X, Y) = xzx + yzy — z, (10)

то Z по-прежнему будет иметь в области © непрерывные частные -производные второго порядка. Преобразование

x = Zx, y = Zy, z = XZx+YZY — Z (11)

•называется преобразованием Лежандра (дуальным преобразованием).

С его помощью (поскольку для интеграла выполняются указанные предположения) дифференциальное уравнение

F(x, у, z, р, д) = 0 (12)

переходит в уравнение

F(ZX, ZY, XZx+YZr — Z, X, Y) = 0, (13)

которое иногда проще первоначального дифференциального уравнения (12). Если Z = Z(X, Y) — интеграл уравнения (13), то соотношения (11) дают параметрическое представление соответствующего интеграла z (х, у) дифференциального уравнения (12).

При преобразовании (11) некоторые интегралы могут пропадать. Например, в дифференциальном уравнении Клеро (4) пропадают плоские интегральные поверхности (5), потому что для них не выполняется неравенство (8). По этой же причине пропадают 2) развертывающиеся поверхности в п. 11.12 (а). Напротив, в п. 11.12(6) преобразование Лежандра применимо. Преобразованное уравнение

Z=-f(X. Y)

уже не является дифференциальным, однако, непосредственно дает решение. Переходя к первоначальным переменным, получаем решение дифференциального уравнения Клеро в параметрическом виде

x=-fx(X,Y), y = -fr(X.Y), z = xX + yY + f(X,Y),

•совпадающее с указанным в п. 11.12,(6).
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed