Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Два последних характеристических уравнения § 8, (6) данного дифференциального уравнения имеют вид р' = р, q' = q. Отсюда
следует, что — — первый интеграл. Для q=ap из дифференциаль-
ного уравнения получается соотношение
/О. ар) = хр-\-аур,
т. е.
ря~1/(.1. а) = х + ау.
и, следовательно,
1
I хА-ау \ n-i
Таким образом,
— полный интеграл.
11.12. z = xp-{-yg~\-f(p, д) и F(p, д, z — xp—yg) = 0.
Это — дифференциальные уравнения Клеро г).
Если функция F (и, v, w) определена в точке (с, Ь, с) и равна в ней нулю: F(a, b, с) —0, то z — ax~\-by-\-c, очевидно, является решением второго дифференциального уравнения.
Если второе дифференциальное уравнение разрешить относительно z — хр—yq, то тем самым оно сведется к первому дифференциальному уравнению.
Дифференциальное уравнение
Z=xp-\-yq-\-f(p, q) (4)
имеет для каждых двух чисел а и Ь, таких, что значение /(с, Ь) определено, интеграл
z = ах-\-by-\-f (а, Ь). (5)
Если функция / дважды непрерывно дифференцируема, то эти плоскости составляют полный интеграл.
(а) Если при фиксированном а производная fvv(a, v) ф 0 в некотором интервале vx < v < v2, то
y = — fv(a, v), z = ax-\-vy-\-f(a, v)
— параметрическое представление интеграла. Если при фиксированном b производная fau(u, b) ф 0 в некотором интервале их < и < и2, то интеграл имеет вид
x = — fu(a,b), z = ux-{-by-\-f (и, b). ') [См. Курант, стр. 102—103. — Прим. ред.]
11.13| § 11. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ЦТ
(б) Пусть функция /(и, v) непрерывно дифференцируема в области ©(и, v); пусть, далее,
и область ©(к, v) однозначно отображается на область ®(х, у} функциями
Тогда дифференциальное уравнение (4) имеет в области ©(л:, у> нелинейный интеграл, который параметрически задается уравнениями.
x = — fa(u,v), y = — fv(u,v), z = ux-\-vy-{-f(u,v)
(особый интеграл). Он, однако, иногда не существует (см. пример, ч. II, 6.7).
Каждая развертывающаяся поверхность, имеющая на каждой своей прямой точку касания с особой интегральной поверхностью, является интегральной поверхностью. Поверхность, проходящую через данную-начальную кривую, геометрически получают так: определяют плоскости, которые одновременно касаются начальной кривой и особой поверхности, и затем строят огибающую их поверхность.
11.13. F (х, у, р, д) = 0. Характеристические уравнения § 8, (6) без «условия полосы» имеют вид
x'{t) = Fp, y'(t)=Fg, p'(t)=-Fx, q'(t) = -Fy. (6>
Это — так называемые канонические уравнения (см. п. 12.10); они образуют разрешимую систему. Если решение этих уравнений (бу найдено, то из условия полосы
можно затем получить недостающую функцию z (t) квадратурами.
Если известно однопараметрическое семейство интегралов z = = ф (л:, у, а), которые дважды непрерывно дифференцируемы по всем трем аргументам, и если, кроме того, | 1 1Ф0>> | > 0, то функция ? —ф(х, у, а)-\-Ь является полным интегралом, а характеристические кривые х — х(t), y = y(t) удовлетворяют уравнению
д (и, v)
Ф0
x = — fu(u,v), у = — Д(И, V).
z'(t) = p(t)x'(t)-{-q(t)y'(t)
фа = const.
Свойство (7) находит применение при решении уравнений движения», механики (см. ч. И, 6.65).
118 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (11.14
11.14. F(x,y, г, р, д)==0. Преобразование Лежандра Пусть •функция z(x, у) дважды непрерывно дифференцируема в области <Ь(х, у), пусть
d (zx, zy)
—д-.-г— ф 0 ни в какой подобласти области @, (8)
" \х, У)
>и пусть область ®(х, К) взаимно однозначно отображается функциями
X=zx(x, у), Y=zy(x,y) (9)
«а область ® (X, Y). Если сделать замену
Z(X, Y) = xzx + yzy — z, (10)
то Z по-прежнему будет иметь в области © непрерывные частные -производные второго порядка. Преобразование
x = Zx, y = Zy, z = XZx+YZY — Z (11)
•называется преобразованием Лежандра (дуальным преобразованием).
С его помощью (поскольку для интеграла выполняются указанные предположения) дифференциальное уравнение
F(x, у, z, р, д) = 0 (12)
переходит в уравнение
F(ZX, ZY, XZx+YZr — Z, X, Y) = 0, (13)
которое иногда проще первоначального дифференциального уравнения (12). Если Z = Z(X, Y) — интеграл уравнения (13), то соотношения (11) дают параметрическое представление соответствующего интеграла z (х, у) дифференциального уравнения (12).
При преобразовании (11) некоторые интегралы могут пропадать. Например, в дифференциальном уравнении Клеро (4) пропадают плоские интегральные поверхности (5), потому что для них не выполняется неравенство (8). По этой же причине пропадают 2) развертывающиеся поверхности в п. 11.12 (а). Напротив, в п. 11.12(6) преобразование Лежандра применимо. Преобразованное уравнение
Z=-f(X. Y)
уже не является дифференциальным, однако, непосредственно дает решение. Переходя к первоначальным переменным, получаем решение дифференциального уравнения Клеро в параметрическом виде
x=-fx(X,Y), y = -fr(X.Y), z = xX + yY + f(X,Y),
•совпадающее с указанным в п. 11.12,(6).