Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
') [См. Курант, стр. 43—49. — Прим. ред.]
2) О том, как получать интегралы, теряющиеся прн этом методе решения, см ч (I. 6 36.
11.151 § п. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ Ц9>
11.16. F (х, у, г, р, д) — 0. Преобразование Эйлера. Пусть функция z(x, у) дважды непрерывно дифференцируема в области ®(х, у), пусть zxx Ф 0, и пусть область ©(х, у) может быть посредством взаимно однозначного преобразования
X = zx(x, у), V = y
отображена на область ®(х, К). Определим функцию
Z(X, Y) = xzx — z;
она дважды непрерывно дифференцируема в области ©. Преобразование
X = zx, V = у, Z — xzx—z, Zy— — zy
и обратное ему преобразование
х — Zx, y — Y, z — XZX — Z, Zy — — zy
называются преобразованием Эйлера.
С помощью этого преобразования дифференциальное уравнение.
F(x, у, z, р, q) = G
переходит (коль скоро интегралы удовлетворяют указанным предположениям) в дифференциальное уравнение
F(ZX, Y. XZX — Z, X, —zy) = 0,
которое иногда проще первоначального.
Если это преобразование применить к дифференциальному уравнению Клеро (4), то плоские интегральные поверхности (5) пропадают, потому что для них не выполняется неравенство zxx ф 0 (или zyy Ф 0). Напротив, преобразование Эйлера в п. 11.12(a) применимо, и переводит уравнение Клеро в дифференциальное уравнение
Z = YZY — / (X, —Zr),
которое может быть рассмотрено как обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром X и которое имеет решение
Z = — bY — f(X, b),
приводящее к выражению
z = xX-\-bY + f(X, b), x = —fx(X,b),
для интеграла уравнения Клеро, тождественному со вторым из решений, указанных в п. 11.12(a).
120 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Щ.16
11.16. F(xp— z, у, р, q)=0. Подстановка z = Сх -f- и (у) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению
F(—и (у), у, С, в'(у)) = 0
для функции и (у).
Для решений z, удовлетворяющих условию zxx Ф 0, дифференциальное уравнение переводится преобразованием Эйлера в уравнение
F(Z. Y, X. —Zy) = 0
типа 11.1.
11.17. xf{y, p. xp—z)-\-qg(y, p, xp—z) — h(y, p. xp—z).
Преобразованием Эйлера из данного нелинейного дифференциального уравнения получают квазилинейное уравнение
f(Y. X, Z)Zx — g(Y. X, Z)Zr = h(Y, X. Z).
11.18. qf(u) = xp—yq; xqf(u) = xp—yq; xf(u. p, q)-\--\-yg(u, p, q)=h(a, p, q), где u = xp-\-yq — z. Преобразованием Лежандра из этих нелинейных дифференциальных уравнений получают квазилинейные уравнения:
К/ (Z) — XZx-\- YZy = 0,
YZxf (Z) — XZX -f- YZy = 0,
/(Z, X, Y)Zx-\-g(Z, X, Y)Zy = h(Z, X, Y).
ГЛАВА III
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 12. Нелинейное уравнение с п независимыми переменными: F (г, г, р) = 0.
12.1. Общие понятия, обозначения и терминология. Общее (нелинейное) дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка для одной неизвестной функции z = z (JCj.....хп) п независимых переменных имеет вид
F (*i.....**• г> ш;....."ёгН0' (1>
а уравнение, разрешенное относительно одной из производных* записывается в форме
dz , / dz dz \ _
С помощью сокращенных обозначений
_dz _ dz _ dz
p~~dx' Pv~"dx^' qv~~dy^'
а также г для вектора с компонентами хи .... хп, у—для ylt .... у„,
р — для Pi.....рп и q—для qy.....qn уравнения (1), (2) можно
записать короче:
F(T. г, р) = 0 (1а)
н
p — f(x, у, z, q) = 0. (2а)
О функциях F и / предполагается, что они в рассматриваемой области своих 2п -\-1 (соответственно 2п -4- 2) переменных непрерывно дифференцируемы.
Под плоскостным элементом здесь понимается система 2я -f- 1 чисел
хг.....хп, z, pt.....рп или, короче, г, z, р; (3)
122 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ 112.1
первые п -\— 1 чисел называются носителем плоскостного элемента, последние п чисел называют направляющими коэффициентами {ср. с п. 8.2).
Плоскостной элемент (3) называется обыкновенным (регулярным, правильным) или особым (нерегулярным) по отношению к диф--ференциальному уравнению (1), в зависимости от того (ср. с п. 8.6),
п
•будет ли в точке (г, г, р) 2 I Fp I > 0 или Fp = ... = Fp — 0.
v=l 1 "
Очевидно, что для дифференциального уравнения (2) имеются только •правильные плоскостные элементы.
Плоскостной элемент (3) называется интегральным элементом уравнения (1), если он (ср. с п. 8.7) удовлетворяет уравнению (1а). Функция ? —яЬ(л\ у) есть интеграл уравнения (1), если она непрерывно дифференцируема и если все плоскостные элементы, которые можно с ее помощью сконструировать,
*i.....хп, ф. ф^, ..., ф^ (4)
или, короче1),
г, ф, grad^ (4а)
¦являются интегральными элементами уравнения (1).
Об определениях частного интеграла, общего интеграла см. п. 8.8.
Интеграл ,г = ф(г) уравнения (1) называется особым, если он ¦содержит только особые интегральные элементы поверхности (4), т. е. если величины (4) одновременно удовлетворяют и—J— 1 уравнению2)
F = 0, Fp=G..... fp„ = °- (5)
Подставим функцию ф в уравнение (1) и продифференцируем получившееся соотношение частным образом по xv; тогда получится, что .¦(дважды непрерывно дифференцируемый) особый интеграл, кроме л -4- 1 уравнения (5), должен также удовлетворять еще п уравнениям
