Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
*Ч + ЛЛ = 0. v=l.....п. (6)
•Следовательно, особые интегралы дифференциального уравнения (1) можно получить, найдя непрерывно дифференцируемые функции z = ф, удовлетворяющие уравнениям (5), или дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие уравнениям (5), (6).
') [Если дана функция f (х, у), то gr&uxf = [fxl (х, у).....гхп (х, у))
«е вектор-градиент по х. — Прим. ред.]
2) Отсюда ясно, что для дифференциального уравнения (2) особых интегралов не существует.
12.21 § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ 123
Полный интеграл уравнения (1) есть «-параметрическое семейство интегралов
2 = Ф(*1, •••> х„, ах.....а„)=ф(г, а), (7>
здесь а означает вектор с компонентами av . .., ап) таких, что функция ф вместе с производными ф*. в некоторой области пространства г, а имеет непрерывные частные производные по всем 2/t аргументам xv, av, и функциональная матрица
д (в,.....ап)
в каждой точке рассматриваемой области имеет ранг п.
12.2. Характеристические полосы и интегральные поверхности. Под полосой (ср. п. 8.3) понимают однопараметрическое семейство плоскостных элементов
r = r(f). * = *(*). P = p(t), (9}
таких, что эти вектор-функции непрерывно дифференцируемы по t в интервале а < t < р и выполняется условие полосы ')
z'(t) = r'(t).p(t) (10>
или подробнее
л
z'(t)=^x'vXt)pv(t). (10a>
v=l
Полоса называется интегральной полосой дифференциального уравнения (1), если она (ср. с п. 8.7) состоит только из интегральных элементов.
Характеристической полосой (характеристикой) дифференциального уравнения (1) называется (ср. с пп. 8.4, 8.5) полоса (9), которая удовлетворяет характеристическим уравнениям (характеристической системе)
r'(t) = P, z'(t)=pP, p'(t) = — X—fzp; (11>
здесь
P = {fpl. fpn) = gvadpf, X = (fxi.....fxj = gtadxf. (12>
Первые n этих уравнений образованы по аналогии с § 8, (6); (n-(-l)-e уразнение есть условие полосы (10); последние п уравнений получаются (ср. с п. 8.4) из условия, чтобы полоса (4) принадлежала интегральной поверхности 2 —ф.
') Это условие является необходимым для того, чтобы плоскостной1 элемент (9) принадлежал некоторой непрерывно дифференцируемой поверхности z = it> (г). [Символ а • Ь означает скалярное произведение векторов. а и Ъ.—Прим. ред.]
124 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ |12.3
Для дифференциального уравнения (2) в качестве характеристических уравнений берутся уравнения
у' (х) = — Q, z'{x) = f — qQ, q'(x)=Y + fzq; (13)
здесь
« = (/«,...../д„) = ёгайд/. К = ...../v,n) = grady/.
(а) Функция F(г, z, р) вдоль каждой характеристической полосы уравнения (1) постоянна; характеристическая полоса является интегральной полосой, если она содержит хотя бы один интегральный элемент (ср. с п. 8.7); функция F есть (очевидный) первый интеграл (ср. с п. 9.1) уравнения (1).
(б) Если z — ф(г)— дважды непрерывно дифференцируемый в области @(г) интеграл уравнения (1) и если
г0, г0 = ф(г0). Po^ferad^W,, (И)
— произвольный плоскостной элемент этого интеграла, то все характеристические полосы, содержащие этот плоскостной элемент, принадлежат интегральной поверхности, коль скоро точки г этой характеристической полосы принадлежат области ©(г).
Таким образом, дважды непрерывно дифференцируемые интегральные поверхности могут быть построены из характеристик.
(в) Если 2 = ф(г) и 2-х (г) в области @(г)—два интеграла дифференциального уравнения (1) с общим плоскостным элементом (14) и если функции ф, % дважды непрерывно дифференцируемы, то все характеристические полосы уравнения (1), содержащие плоскостной элемент (14), одновременно принадлежат обеим интегральным поверхностям, если только точка r(t) принадлежит области ©.
Если этот общий плоскостной элемент регулярный, то обе интегральные поверхности имеют общую кривую, не вырождающуюся в точку.
12.3. Сведение уравнения к такому, которое содержит лишь производные искомой функции.
(а) Пусть w = ф (г, z) — непрерывно дифференцируемая функция л-f-l независимого переменного xr.....хп, z и z — ф(г)—непрерывно дифференцируемая функция, для которой
Ф(>. ф(/)) = 0 и Фг(г, ф(г))^01).
Если г = ф(г)— интеграл дифференциального уравнения (1), то из •соотношения <р (г, ф (г)) = О после частного дифференцирования следует:
9*v + 4ykv==°. v=l, .... п,
') Для каждого интеграла z — ty функция с такими свойствами всегда существует, например, <р = z — Ф-
12.3| § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С И ПЕРЕМЕННЫМИ 125
') Для примера см. п. 5.4.
2) Можно ли этим способом получить все интегралы уравнения (1) — зависит от того, справедлива ли для уравнения (15) теорема существования, в силу которой для каждой непрерывно дифференцируемой функции z = (г) имеется интеграл w = ф (г, z) уравнения (15), который обращается в нуль для этих значений.
3) Если z (г) — интеграл уравнения (1), то очевидно, что функция и = tz (г) -J- const обладает требуемыми свойствами.
т. е. для ,г = ф справедливо равенство
