Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 47

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 82 >> Следующая

r=r0 (ty.....Г„_!). Z=Z0(ty.....tn_y), p=p0(ty.....tn_y) (19)

') [См. Курант, стр. 105—111; Степанов, стр. 406—420.— Прим. ред.]

дг dt

v

(Y) матрица

128 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ (12.6


¦ • грп'

дх01
дхт


•' dt.

dxoi





здесь в функции Fp первой строки подставлены функции (19),

a Jt0v — компоненты вектора r0 (tu . •., t„) = (x01, .... л:0„).

Так как функция F дважды непрерывно дифференцируема, то правые части характеристических уравнений (11) непрерывно дифференцируемы. Их решение r(t), z(t), p(t), следовательно, однозначно определено начальными значениями r0, z0, р0, принимаемыми при * = 0. Определим, далее, функции (будем писать tn вместо t):


•. '„)
= r(t, r0(f,,
• •» ^n-l)> го(^1>
¦ • • • 'n-l)>




PoCi. •
••. *„-l)).

% <tl. ¦

= z(t, r0(tlt
• • •» ^n-l)» zo(h'
•••• *„-l).







3й (ty, . .

= p(f, r0(*„
• • • > ^n-l)> го(^1>





PoVi, •


(21)

Эти функции ffl, %, ?f* образуют n-мерную интегральную полосу в области Hn(ty, .... tn), которая совпадает с областью Ип_х при tn = 0. Область Нп определена, так как для каждой точки (*,, ... .... ?„_i) из Нп-\ можно определить интеграл изменения переменной tn, который содержит значение tn = 0 и в котором существует решение (21) характеристических уравнений (11).

12.6. Частный случай: р=/(х, у, г, д). Если дано дифференциальное уравнение (2), то при надлежащих предположениях можно указать некоторые оценки для области существования решения (ср. с п. 10.3).

(а) Пусть функция f(x, у, z, q) в области

I* — У> z, д — произвольны, (22)

— данная (п—1)-мерная полоса дифференциального уравнения (1), определенная в области #„_i = #„_/(*,, ..., *„_,); полученные, согласно формулам (19), величины должны принадлежать области ©. Наконец, пусть определитель

12.61 § 12. нелинейное уравнение с П переменными 129

9 Э. Камке

дважды непрерывно дифференцируема по всем 2п + 2 аргументам, и пусть в этой области справедливы оценки

|/,J. | f%\ •

l-^Vvl* I-^VI" KVvl' 1^1* l^vl' KVvl J

Пусть, далее, функция w(y) дважды непрерывно дифференцируема по всем yv и удовлетворяет неравенству

| | + Jj | <oVv| < В. р = 1.....я. (24)

Наконец, пусть определены числа

°<Р<-Т1"(1 +2я(В + 1)) и a = min(«- Р)- (25>

Тогда дифференциальное уравнение (2) имеет в области

\х—IK^a, з» — произвольно, (26)

ровно один дважды непрерывно дифференцируемый интеграл z — = ф (х, у), который при х = | принимает значение

Доказательство дает одновременно метод для фактического построения интеграла. Находим характеристики дифференциального уравнения (2), т. е. интегральные кривые системы (v=l, .... п)

п

y'v (х) = — f„v- z' (*) = /— 2 9и/,и> g'v (х) = /,v + 4jz.

которые при jc = I проходят через точки

О.....П„, ©ft.....Л„). .....<\>

Эти характеристики существуют для любого цч в интервале |л:—Ц-^а; обозначим их через

yv=Yv(x, T|l.....Пп)' z = Z(x, ГЦ.....Г|„),

Чч = 0-м(*' Пг.....Пп)-

Можно показать, что первые п из этих уравнений однозначно разрешимы относительно r|v для любого yv и что это 2/1+1 уравнение дает, таким образом, для искомого интеграла Z — ф(л:, у) и его производных фу =QV параметрическое представление (с параметрами Г),, .... Г|„).

130 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СП ПЕРЕМЕННЫМИ |12.7

(б) Если / удовлетворяет предположениям не во всей области (22), а, например, в конечном кубе, то можно поступить, как намечено в п. 10.3 (б)1)-

(в) Сделанные в (а) предположения о функциях / и со могут быть ослаблены2).

(г) Если функции /, со зависят еще от параметров л^, р. = 1, ... ..., т, то можно доказать следующее3).

Пусть функция 4) / (х, у, z, д, к) в области s) | х — 1| с; у, z, д — любые; <^ <С Л* k 1 раз непрерывно дифференцируема по всем 2/t-f-m-f-2 аргументам х, уи, z, ои, кк. Далее, пусть выполнено условие (23), и в области

3» — любое; Лц < лц < А\\ (28)

функция со (у, к) k раз непрерывно дифференцируема по ук, кк. Наконец, пусть справедливо неравенство (24) и числа а, р выбраны согласно (25).

Тогда дифференциальное уравнение

Р = /(х, У, z, д, к)

имеет в области (26) при данном к ровно один дважды непрерывно дифференцируемый интеграл 2 = ф(л:, у, к), который при Jf = | принимает значение ф(|, у, a)=co(j>, к). Функция ф(дг, у, к) в области

I* — 1\<а: У —любое; A(1<^<A(i (29)

k раз непрерывно дифференцируема по всем своим п-\- m-J- 1 аргументу х, уК, Ли.

12.7. Полный интеграл; получение частных интегралов из полного.

(а) Существование полных интегралов6). Пусть функция f(x, у, z, д) дважды непрерывно дифференцируема в области \х — ||<Ся; 3*> Z' Я — любые, и пусть выполняются неравен-

') См. Т. Wazewski, Annales Soc. Polon 14 (1935), стр. 149—177.

2) См. Т. Wazewski, Annales Soc. Polon 14 (1935), стр. 149—177; Т. Wazewski, Math. Zeitschrift 43 (1938), стр. 521—532; E. Dig el Math. Zeitschrift 44 (1938), стр. 445—451.'
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed