Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
') Изложение следует книгам A. R. Forsyth, Theory of Differentia} Equations, Cambridge, 1906; E. О о u r s a t, Lecons sur I'integration des equations aux derivees partielles du premier ordre, Paris, 1921. [См. также литературу, указанную перед § \. — Прим. ред.]
60 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 16.1
дхц dxv dxv «Ъсц ' .должны быть выполнены равенства
dxv дхц
¦(условия интегрируемости).
Если это условие выполнено, то в каждой односвязной области © исходная система разрешима и, более того, можно еще удовлетворить начальному условию: функция z в некоторой точке (gj, .... ?,„) области © принимает значение ?. Решение системы в этом случае выглядит так:
(*i.....хп)
(61.....Е«>
причем интеграл берется по любой2) непрерывной спрямляемой кривой, целиком лежащей в © и связывающей точки .....?,„) и
(х1з ..., х^).
В случае конкретно заданной исходной системы можно подходить к решению несколько по-иному: сначала определяют все множество функций, удовлетворяющих первому уравнению системы, затем определяют подмножество этих функций, удовлетворяющих второму уравнению, и т. д.
Пример.
dz ' dz
dxt Хг' дх2
Условие интегрируемости выполнено. Из первого уравнения (считая х2 параметром) находим z — хгх2 -\- q) (х2), где q) — произвольная, гладкая функция. Далее, из второго уравнения получаем q/ (jc2) = 0. Таким образом, г = ххх2 -\- С.
') [В силу известной теоремы анализа, см., например, Г. М. Фихтен-гольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, Физ-матгиз, 1962. — Прим. ред.]
2) [Значение этого интеграла зависит лишь от начальной и конечной точек и не зависит от выбора пути интегрирования; см. Г. М. Фихте н-г о л ь ц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III, Физ-матгиз, 1962.— Прим. ред.]
¦и z — z(г) — искомая функция. Если функции fv в области ©(г) непрерывно дифференцируемы, то каждое решение этой системы будет .дважды непрерывно дифференцируемым. Тогда, поскольку ')
d2z d2z
«.2| § 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 61
дх, -?> --"ду.
т.
(2)
Здесь г и у обозначают соответственно векторы с компонентами jCj, ..., хт и уи ..., ys. Система (2) называется явным или каноническим видом системы линейных дифференциальных уравнений.
Интегралом системы (1) является любой интеграл, общий для всех дифференциальных уравнений системы. Множество интегралов есть, таким образом, подмножество интегралов каждого уравнения в отдельности и поэтому может быть получено (см. п. 6.7 (б)) как сужение множества интегралов отдельных уравнений.
В дальнейшем коэффициенты системы (1) или (2) будут предполагаться непрерывно дифференцируемыми в рассматриваемой области ©(г) или соответственно ©(г, у).
Для каждого интеграла z системы (1) имеем (при любых и, и v):
Fv (F»z — g») — F» (Fvz — gv) = 0 (3)
•) В параграфах, посвященных системам уравнений, целесообразно функции снабжать индексами вверху, в то время как внизу ставится переменная, по которой производится дифференцирование; например, /JJ?k =»
^ df»-k Р
= дхр
2) Очевидно, что F^ (и, v) — vF^u -\- uF^v — f^' °uv.
6.2. Общая линейная система: определения и обозначения.
(а) Общая линейная система имеет вид1)
>)* = ?>), ц=1.....т, (1)
причем снова г означает вектор с компонентами хх.....хп,
a z = z(r) — искомая функция. Если под F^ понимать оператор2)
п
рм._ V4 k & I ги> о
ZuJ dxk '
k=i
то систему уравнений (1) можно записать короче:
F»z = g», р== 1, .. ., т. (1а)
Если система (1) может быть разрешена относительно каких-нибудь т производных, то, обозначая независимые переменные через хг,.... хт\ yv .... ys (m-\-s~ri), мы можем переписать систему в виде
62
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[6.3
(так как в скобках, в силу (1а), стоят нули). Отметим, что любая дважды непрерывно дифференцируемая функция z после применения к ней оператора превращается в непрерывно дифференцируемую (один раз) функцию. Уравнения (3) после выполнения необходимых (см. (1)) операций снова приобретают вид (1)
Мы будем говорить, что уравнение (4) получено при помощи образования [|х, у\-скобок1) из |х-го и v-ro уравнений системы (1).
(б) Имеет место следующий фундаментальный факт2): каждый интеграл системы (1) должен также удовлетворять уравнениям (4) для 1 -< ц, v -< т.
Для системы (2) уравнения (4) имеют вид
+ S «Г* - e\f) - ? + ? + - g"f°=о. (5)
k=l \ ук yk J -*v Ц
6.3. Инволюционные системы и полные системы.
(а) Система (1) называется инволюционной, если соответствующие ей уравнения (4) удовлетворяются* для всех непрерывно дифференци-
') Так как уравнения, получаемые при помощи образования [ц, v]-cko6ok и [v, ц]-скобок, отличаются лишь знаком, а уравнение, получаемое при помощи образования [[i, [х]-скобок, есть тождество 0 = 0, то уравнения (4) имеет смысл рассматривать для I <! \i < v т. Отметим, что уравнения (4) не являются частным случаем уравнений § 14, (14); в то же время приводимые ниже уравнения (5) есть частный случай уравнений § 14, (2). Примеры см. в ч. II, 5.6 и II, 5.11.
