Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение, разрешенное относительно одной из производных, имеет вид
Р = /(х, у, z, q) или q = f(x, у, z, р); (2)
уравнение (1) называется уравнением, не разрешенным относительно производной.
По поводу определения интегральной поверхности см. пп. 1.1 и 8.8.
Дифференциальное уравнение (1) каждой точке (х0, у0, г0) пространства х, у, z ставит в соответствие семейство плоскостных элементов х0, у0, z0, р, q (ср. с п. 2.1), направляющие коэффициенты р, q которых связаны соотношением
F(x0, у0, z0, р, 9) = 0.
.8.1|
§ 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
79
Плоскостные элементы, соответствующие в силу этого уравнения точке (х0, у0, z0), определяют однопараметрическое семейство плоскостей, огибающей которого является, вообще говоря, невырожденная1) коническая поверхность с вершиной (х0, у0, z0) (рис. 19). Этот конус2) называют конусом Монжа (направляющим конусом, конусом Т) дифференциального уравнения (1) в данной точке.
Рис. i9. Рис. 20.
Следовательно, в силу дифференциального уравнения (1), каждой точке (х, у, z) (разумеется, в случае, если уравнение (1а) для этой точки имеет вещественные решения р, д'3)) ставится в соответствие направляющий конус. Само дифференциальное уравнение (1) представляется геометрически полем конусов в пространстве х, у, z (аналогично полю направлений на плоскости в случае обыкновенного дифференциального уравнения) (рис. 20).
В этой геометрической интерпретации задача решения уравнения (1) означает следующее: требуется найти такую непрерывно дифференцируемую поверхность г —ф(х, у), в каждой точке которой плоскостной элемент х, у, z — ф(х, у), ^^^(х, у), q — tyy(x, у)
') [Если функция F линейна по р и q, т. е. в случае квазилинейного уравнения, получается пучок плоскостей, проходящих через прямую, называемую «осью Монжа» (см. пп. 2.1 и 5.1). Если функция F нелинейна, то получается общий случай: возможные касательные плоскости к интегральной поверхности в точке (х0, уо, %о) определяются одновременно двумя уравнениями
F (х0, уо, z0, р, q) = О,
г — г0 = р (х — х0) + q (у — уо).
т. е. они образуют семейство плоскостей от одного параметра, проходящих через фиксированную точку. Огибающей такого семейства является конус.
— Прим. ред.]
2) [Точнее, рассматривается достаточно малая часть полости конуса, соответствующая достаточно малой области изменения р и q. В целом конус Монжа может состоять из нескольких отдельных полостей.
— Прим. ред.]
3) Если, например, F ~p2-\-q2-{-1, то не существует (вещественного) плоскостного элемента, удовлетворяющего уравнению (1). При наглядном истолковании обычно отказываются от таких случаев. Но они, помимо случайных ограничений из следующего пункта этой главы, которые ни в коем случае не содержат теоремы существования, отнюдь не исключены. Примем, далее, во внимание, что также случай F = 0 до сих пор не исключался.
80 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [8.2
') [Таким образом, интегральная поверхность в каждой точке касается соответствующего конуса Монжа. Ср. с геометрической интерпретацией интегральной кривой обыкновенного дифференциального уравнения.
— Прим. ред.]
2) [В самом деле, характеристическая система уравнения (3) (0 = / У. z), У' (0 = 8 С*. У. г). г' (О = п С*, у, г)
показывает, что в произвольной точке (х0, у0, zD) характеристики направляющим вектором касательной к характеристике служит вектор (/ (х0, у0, zB), g (х0, Уо. 20), h (х0, у0, г0)), являющийся одновременно направляющим вектором оси (За) пучка плоскостей, соответствующего данной точке.
— Прим. ред.]
удовлетворяет уравнению (1а). Другими словами, в каждой точке (л:, у, z) интегральной поверхности z = ф (х, у) ее касательная плоскость одновременно должна быть касательной плоскостью направляющего конуса, соответствующего рассматриваемой точке ') (рис. 20). Пусть данное дифференциальное уравнение (1) квазилинейно:
/(х, у, z)p + g{x, у, z)q = h(x, у, г), |/| + |^| >0; (3)
тогда направляющий конус, принадлежащий точке (х0, у0, z,), вырождается в прямую линую
х —х0=/ог, у —у0 = gQt, z — z0 = h0t, (За)
где t — параметр, а /0, ^0, h0 — значения функций /, g, И в точке (х0, у0, z0). Семейство касательных плоскостей направляющего конуса превращается в данном случае в пучок плоскостей, проходящих через эту прямую, кроме плоскости, перпендикулярной к плоскости х, у (см. пп. 2.1 и 5.1).
8.2. Геометрическая интерпретация характеристик. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка можно сводить к системе обыкновенных дифференциальных уравнений постольку, поскольку их интегральные поверхности могут быть построены из характеристик. Аналогичное сведение возможно также для уравнения (1).
Для квазилинейного дифференциального уравнения (3) каждая характеристика в каждой своей точке имеет касательной ось пучка плоскостей, построенного для данной точки, т. е. каждой точке пространства (х, у, z) поставлено в соответствие определенное направление, геометрически заданное осью соответствующего пучка. Это поле направлений аналитически описывается характеристической системой2). При переносе этого обстоятельства на дифференциальное уравнение (1) сразу же возникает осложнение, состоящее в том,
