Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
дг , — — dz _ -= + #(*, у) т=-=0. дх ду„
Соответствующее характеристическое уравнение
У'„ (х) ~ g (х, у)
(уг.....Уп-i — параметры) имеет интегрирующий множитель 2)
¦ •-. Фя-i) _ т;аким образом, после введения новых переменных у,, д(Уи Уя-i) v j>v
уравнение (10) может быть решено квадратурами.
3.9. Методы решения. Имеются следующие методы решения уравнения (1):
(а) Изучение .интегральных поверхностей посредством характеристик (см. п. 2.4).
(б) Получение отдельных интегралов или интегрального базиса посредством комбинирования характеристических уравнений (см. п. 3.3). Если найден один или более независимых интегралов, то, в силу п. 3.5 (а), дифференциальное уравнение можно редуцировать к уравнению с. меньшим числом независимых переменных. Иногда для получения полного интегрального базиса удается воспользоваться
') Точные предположения здесь не формулируются. 2) См. Камке, стр. 52.
44
гл. I. линейные и квазилинейные уравнения
[4.1
множителями Якоби (см. п. 3.8). Из интегрального базиса можно, согласно п. 3.4(a), получить все интегралы.
(в) Если требуется определить интеграл с данным начальным значением (задача Коши), то можно, если уже известен интегральный базис (или таковой может быть легко найден), поступать по примеру п. 3.4(6). Можно воспользоваться также методом пп. 3.6 и 3.7 (примеры см. в пп. 2.6(6), 2.6(b), 2.8 (г)).
(г) Использование разложений в ряды (см. п. 2.9).
(д) Если ни один из указанных методов не ведет к цели, в силу непреодолимых аналитических трудностей, то можно характеристические уравнения (2) или (11) решать приближенными методами, а затем, используя начальные условия, получить приближенное численное решение данного уравнения с частными производными.
я
§ 4. Общее линейное уравнение: 2 fv(r) Pv+/o(r) г =f(r)
v=l
4.1. Определения. Общее (неоднородное) линейное1) дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для одной неизвестной функции z = z (хг.....хп) от и независимых переменных имеет вид (см. п. 1.1)
я
^/vOi.....*«)g^- + /o(*i.....x„)z = f(x1.....хп) (1)
v=l
или, используя сокращенные обозначения pv = -J^— и г вместо х\.....хп,
я
2>fv(.r)Pv+Mr)z = f(r). (la)
v=l
Мы будем называть линейнве уравнение укороченным 2), если /(г) = 0. Это уравнение будет называться однородным, если, кроме того, /0(г) = 0 (см. пп. 1.1 и 3.1).
Очевидно, верны следующие предложения: если ф2 (г), ф2 (г) — любые два решения уравнения (1), то 2 = ф1—ф2— решение соответствующего укороченного уравнения; если ф0—какое-либо решение уравнения (1) и если ф пробегает все решения соответствующего укороченного уравнения, то 2 = ф0+ф пробегает все решения уравнения (1).
') [Иногда, впрочем, линейным неоднородным уравнением называют уравнение типа § 5 (1); см., например, Степанов. — Прим. ред.]
2) Иногда под укороченным уравнением понимают однородное уравнение в более узком смысле.
4.21
§ 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
45
4.2. Сведение общего линейного уравнения к однородному.
(а) Сведение к (п-\- 1)-ч л е н н о м у однородному уравнению. Поскольку уравнение (1) является частным случаем квазилинейного дифференциального уравнения § 5 (1), оно, согласно п. 5.4, приводится к (я+ 1)-членному линейному однородному уравнению
i/.«?+i/<»-/.(f)«i?.=o.
v=l
Характеристические уравнения
( z'(t) = f — zf0
этого последнего называют также характеристическими уравнениями уравнения (1). Если первые п этих характеристических уравнений разрешены, то решения последнего уравнения находятся квадратурами.
(б) Сведение к я-членному однородному уравнению. Это и-членноё линейное однородное уравнение имеет вид
п
2/v(O/>v = 0. (2)
v=l
В соответствии с § 3 для уравнения (2) в области © (г) может быть получен интегральный базис ^(г), .... ty„-i(r). Поскольку в области ©(г)
д(Фь .... ibn-i) , q д(хи .... .*:„_,) ^ '
то после преобразования (ср. с п. 3.5(a))
yi=$i(r).....У„-1 = *„-i(/-), Уп = хп (3)
область © (г) взаимно однозначно отобразится на область © (у), а интегралы уравнения (1) будут непрерывно дифференцируемыми по всем yv функциями z(r) — t,(y), удовлетворяющими дифференциальному уравнению
ёп (У) ЪУп -\~So(y)^ — S (У): (4)
здесь gn, g0, g — функции, полученные преобразованием (3) из /п, /о /• Уравнение (4) — обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с независимой переменной у„ и параметрами уи .... y„_t; оно может быть проинтегрировано в квадратурах.
46 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ (4.3
') См., однако, п. 5.6 (б) для п — 2.
2) В этом неравенстве один или оба знака равенства могут быть опущены; случаи а — — со, 6 = -j- со не исключаются.
3) Это предположение можно заменить следующим: при каждом фиксированном значении к частные производные (v >¦ 1) ограничены.
Таким образом, в переменных (3) левая часть уравнения (1) имеет вид
я я-1 я
Е Д С") Pv + /о 1>) * = Ц ^yft S + ff^y + g&
