Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
= ау — 6л:, | а | + | Ь | +1 с | > О Характеристические уравнения х' (t) — bz — су, у' (0 — сх — аг, г' (t) = ау — Ьх
показывают, что вдоль каждой характери-I стикн
ах' -\- by' -\- сг' = 0, или
ах-\-by-\-cz = const и
Рис 15. хх' +уу' +гг' = 0, или
х2-\-у2-\-г2 = const '). Следовательно, квждая характеристика принадлежит плоскости ах-\-Ьу-{--f- сг — Ci н одновременно шару х2 -\- у2 -\- г2 — С2; таким образом, она представляет собой круг, лежащий в этой плоскости (который может вырождаться в точку). Интегральные поверхности представляют собой всевозможные непрерывно дифференцируемые поверхности вращения (или части таковых), оси вращения которых проходят через начало координат и ортогональны плоскости ах -j- by -\- сг — О2) (рис. 16); ср. с п. 2.4 (в).
(г) (bz-cy + A)~ + дг
+ (сх — az + В)-^ = ау — bx +С.
Интегральные поверхности — винтовые по- Рис. 16.
верхности; это показывается так же, как и в примере (в). Поскольку вычисление проще в векторной записи, то мы положим
v = (а, Ь, с), V = (А, В, С), г = (х, у, г). Тогда характеристические уравнения примут вид3)
/¦'(0= V+vXr. (*>
') Отсюда, в силу п. 5.2 (б), следует, что г — У С2 — х2 — у2 и, если
, „ С — ах — bv с ф 0, также г —---=--интегралы данного уравнения.
г) [Иначе говоря, ось вращения проходит через начало координат параллельно вектору (а, Ь, с). — Прим. ред.]
3) [Запись а У. г означает векторное произведение векторов а к г. Прим. ред.]
5.31
§ 5. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
5$
Будем считать, что особые случаи, рассмотренные в примерах (а) или (в), не имеют места (этого можно добиться, предполагая, что v Ф 0 и V Ф 0).
Надо доказать, что каждая характеристика г = г (t) есть винтовая линия, ось которой параллельна вектору v и проходит через конечную точку Q-
исходящего из начала координат вектора ') --— (рис. 17). Построим дл»
произвольной точки Р-
¦Р(г) характеристики вектор
Квадрат расстояния р = р (t) от точки Р до указанной выше оси / равен-с точностью до постоянного множителя 2)
р2 «= (р X о>)8 = (*> X г — v X -^§-^)2 =
=<« X гу -2(v X г) (* X X-^) =
1
= (v X /О2 - 2 (с X /") [с (с К) ¦
Рис. 17.
Ко2] + const =
=(w X /-)2+2 (р X /¦) K+const = (V+vXr)2+const.
В силу характеристического уравнения (*), получаем:
й (V + v X г)2 = 2 (V-f-B X /") (в X г') =
= 2r'(w X О =0;
этим непосредственно устанавливается, что величина р2 постоянна вдоль любой характеристики. Таким образом, все точки характеристики равноудалены от оси /. Далее, имеем:
г'2 = (К + v X г)2 = const
и
¦or' = v (V-\- v X г) — vV — const. Таким образом, касательная в любой точке кривой г (t) образует с вектором v постоянный угол, т. е. характеристики — винтовые линии с фиксированной осью /, параллельной вектору v и проходящей через точку Q. Следовательно, все интегральные поверхности являются винтовыми поверхностями, которые можно построить из этих винтовых линий.
') [Запись ф8 означает скалярный квадрат вектора ч>, т. е. квадрат его* длины. — Прим. ред.]
2) [Как известно, модуль векторного произведения двух векторов численно равен площади параллелограмма, сторонами которого являются данные векторы. Следовательно, используя два выражения для квадрата площади параллелограмма Q.MNP (рис. 17), мы имеем:
(v X «О2 = Р2»2;
множитель v2 является постоянным (не зависящим от параметра t, т. е. от выбора точки Р). Используемые ниже свойства векторного и скалярного-произведений векторов доказываются в любом курсе аналитической геометрии или векторной алгебры (см., например, Н. В. Ефимов, Краткий курс аналитической геометрии, «Наука», 1965; Я. С. Д у б и о в, Основы векторного исчисления, ч. I, Гостехиздат, 1950). Запись vV означает скалярное произведение указанных векторов. Все слагаемые, не зависящие от параметра t, включаются в член const, вид которого не имеет значения и потому не уточняется. — Прим. ред.]
54 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ [5.4
') Обратим внимание на то, что функция g.\r, z) написана в левой -части уравнения со знаком плюс.
8) По вопросу, можно ли этим методом получить все интегралы уравнения (1), варьируя интегралы if уравнения (4), см. Kamke, DGIen, стр. 333.
5.4. Сведение квазилинейного уравнения к линейному однородному. Следуя методу п. 12.3 (а), дифференциальное уравнение (1) может быть сведено к линейному однородному дифференциальному уравнению ')
v = l
-с искомой функцией w — w(r, z). Если w(r. z) — интеграл этого уравнения, то, разрешая уравнение w = 0 относительно z, мы полу-•чим, при необходимых предположениях, решение уравнения (1).
Точнее, верно следующее предложение. Пусть w — ф (г, z) — интеграл однородного уравнения (4) в (8>n+t(r, z). Далее, пусть 5((г) — функция в ©„(г) со следующими свойствами:
а) она непрерывно дифференцируема в ©„;
Р) точки (г, г —х(г)) принадлежат области ©„+i;
У) (*"• Х(Г))^0 ни в какой подобласти области ©„;
